Demonstração da Fórmula de Bhaskara

Toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0 é chamada equação do segundo grau. Nesse caso, os números representados por a, b e c são reais e chamados de coeficientes, e o coeficiente a é sempre diferente de zero. As soluções dessas equações, quando existem, podem ser obtidas por meio da fórmula de Bháskara. Para usar esse método de resolução, existem dois passos:

1 – Substituir os coeficientes na fórmula do discriminante (Δ), que é:

Δ = b² – 4ac

2 – Substituir coeficientes e discriminante na fórmula de Bháskara, que é:

x = – b ± √∆
        2a

A fórmula de Bháskara pode ser encontrada aplicando outro processo resolutivo das equações do segundo grau sobre ax² + bx + c = 0. Os detalhes sobre esse processo podem ser conhecidos no texto Método de completar quadrados.

Demonstração da fórmula de Bháskara

Para usar o método de completar quadrados na demonstração da fórmula de Bháskara, primeiramente, devemos dividir toda a equação pelo valor do coeficiente a, conforme a seguir:

ax² + bx + c = 0
 a       a     a    a

x² + bx + c = 0
  a     a

x² + bx = – c
        a       a

Depois disso, dividiremos b/a por 2 e elevaremos o resultado ao quadrado. A parcela obtida será somada em ambos os membros da equação para formar o trinômio quadrado perfeito no lado esquerdo da equação. O resultado desse cálculo será:

Após isso, escreveremos o primeiro membro como um produto notável e simplificaremos o segundo membro o máximo possível. Observe:

Para seguir adiante no cálculo, faremos a raiz quadrada em ambos os membros da equação e simplificaremos o resultado o máximo possível:

Para finalizar os cálculos, basta colocar o termo b/2a no segundo membro e simplificar o resultado:

Observe que o discriminante é encontrado dentro da raiz quadrada na demonstração da fórmula de Bháskara. Ele apenas é calculado separadamente por motivos didáticos.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática