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Demonstração da Fórmula de Bhaskara

Matemática

A demonstração da fórmula de Bháskara pode ser feita com base em uma técnica também usada para resolvê-la: o método de completar quadrados.
A fórmula de Bháskara pode ser demonstrada pelo processo de completar quadrados
A fórmula de Bháskara pode ser demonstrada pelo processo de completar quadrados
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Toda equação que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 é chamada equação do segundo grau. Nesse caso, os números representados por a, b e c são reais e chamados de coeficientes, e o coeficiente a é sempre diferente de zero. As soluções dessas equações, quando existem, podem ser obtidas por meio da fórmula de Bháskara. Para usar esse método de resolução, existem dois passos:

1 – Substituir os coeficientes na fórmula do discriminante (Δ), que é:

Δ = b2 – 4ac

2 – Substituir coeficientes e discriminante na fórmula de Bháskara, que é:

x = – b ± √∆
        2a

A fórmula de Bháskara pode ser encontrada aplicando outro processo resolutivo das equações do segundo grau sobre ax2 + bx + c = 0. Os detalhes sobre esse processo podem ser conhecidos no texto Método de completar quadrados.

Demonstração da fórmula de Bháskara

Para usar o método de completar quadrados na demonstração da fórmula de Bháskara, primeiramente, devemos dividir toda a equação pelo valor do coeficiente a, conforme a seguir:

ax2 + bx + c = 0
 a       a     a    a

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x2 + bx + c = 0
  a     a

x2 + bx = – c
        a       a

Depois disso, dividiremos b/a por 2 e elevaremos o resultado ao quadrado. A parcela obtida será somada em ambos os membros da equação para formar o trinômio quadrado perfeito no lado esquerdo da equação. O resultado desse cálculo será:

Após isso, escreveremos o primeiro membro como um produto notável e simplificaremos o segundo membro o máximo possível. Observe:

Para seguir adiante no cálculo, faremos a raiz quadrada em ambos os membros da equação e simplificaremos o resultado o máximo possível:

Para finalizar os cálculos, basta colocar o termo b/2a no segundo membro e simplificar o resultado:

Observe que o discriminante é encontrado dentro da raiz quadrada na demonstração da fórmula de Bháskara. Ele apenas é calculado separadamente por motivos didáticos.

 

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Demonstração da Fórmula de Bhaskara"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/demonstracao-formula-bhaskara.htm>. Acesso em 15 de novembro de 2018.

Lista de Exercícios
Questão 1

Sejam x1 e x2 as raízes da equação x2 + 8x + 7. Qual é o valor de x1·x2?

a) 7

b) 17

c) – 7

d) – 14

e) – 8

Questão 2

Um objeto foi jogado para o alto e, logo em seguida, caiu alguns metros à frente. Supondo que esse objeto descreveu a trajetória guiada pela função f(x) = – x2 + 8x – 7, a quantos metros de distância do local onde seu movimento se iniciou esse objeto caiu?

a) 1 m

b) 3 m

c) 6 m

d) 7 m

e) 8 m

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