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Inequação produto e inequação quociente

A inequação produto e a inequação quociente são casos particulares de inequação em que o estudo de sinal é essencial para que sejam encontrados seus conjuntos de solução.

Nessas inequações, o estudo de sinal é essencial para que sejam encontrados os seus conjuntos de solução.
Nessas inequações, o estudo de sinal é essencial para que sejam encontrados os seus conjuntos de solução.
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A inequação produto e a inequação quociente são casos particulares de inequação. Conhecemos como inequação produto o produto entre duas expressões algébricas em um dos membros da inequação. Já a inequação quociente se dá quando há uma divisão entre duas expressões algébricas em um dos membros da inequação.

Para encontrar o conjunto de soluções da inequação produto, é feito o estudo de sinal de cada um dos seus fatores e depois é analisado qual será o sinal do produto. De modo análogo, para encontrar o conjunto de soluções da inequação quociente, é feito o estudo do sinal do numerador e do denominador separadamente e depois é analisado qual será o sinal do quociente.

Leia também: Inequações logarítmicas — casos em que a incógnita pertence ao logaritmando ou à base

Tópicos deste artigo

Resumo sobre inequação produto e inequação quociente

  • Inequação produto se dá quando há um produto entre expressões algébricas na inequação.
  • Inequação quociente se dá quando há uma divisão entre expressões algébricas na inequação.
  • Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação produto, são necessários o estudo de sinal das funções representadas por cada uma das expressões algébricas e a análise do produto desses sinais.
  • Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação quociente, é necessário fazer o estudo de sinal do numerador e do denominador.

Inequação produto

Conhecemos como inequação produto aquela que possui o produto entre duas expressões algébricas em um dos membros da inequação.

Exemplos:

  • \( (x-2)(x+3)\geq0\)
  • \( (3x-4)(x-8)<0\)
  • \( (2x+3)(4x-7)\le0\)

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  • Como resolver uma inequação produto

O conjunto de soluções de uma inequação são os valores que x pode assumir sendo que ainda assim ela continue verdadeira. Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação produto, são necessários:

  • o estudo de sinal das funções representadas por cada uma das expressões algébricas;
  • a análise do produto desses sinais.

Exemplo: 

Encontre o conjunto de soluções da inequação a seguir:

(x – 3) (2x – 10) < 0

Resolução:

Primeiramente, faremos o estudo de sinal de cada uma das expressões algébricas.

x – 3 = 0

x = 3

Representação de 3 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

Agora, faremos o estudo de sinal do segundo fator:

\(2x-10=0\)

\(2x=10\)

\(x=\frac{10}{2}\)

\(x=5\)

Representação de 5 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

Para que a multiplicação de dois fatores seja menor que zero, os dois fatores precisam ter sinais opostos, ou seja, um positivo e o outro negativo. Analisemos o sinal do produto:

Tabela com o estudo de sinais e a análise do produto dos fatores da inequação produto.

Assim, a inequação (x – 3) (2x – 10) < 0 possui como solução os números maiores que 3 e menores que 5, ou seja 3 < x < 5.

Saiba mais: Como ocorre a localização de qualquer ponto no plano cartesiano?

Inequação quociente

Uma inequação é conhecida como inequação quociente quando ela possui em um dos membros da inequação o quociente entre duas expressões algébricas.

Exemplos:

  • \( \frac{x+2}{x-3}\geq0\)
  • \( \frac{2x-1}{x+6}<0\)
  • \( \frac{5-x}{2+3x}>0\)
  • Como resolver uma inequação quociente

Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação quociente, são necessários:

  • o estudo de sinal das funções representadas no numerador do quociente;
  • o estudo de sinal das funções representadas no denominador do quociente.

Exemplo: 

Encontre o conjunto de soluções da inequação a seguir:

\(\frac{x-6}{2x-2}>0\)

Resolução:

De início, faremos o estudo de sinal do numerador:

\(x-6=0\)

\(x=6\)

Representação de 6 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

Agora, analisando o denominador:

\(2x-2=0\)

\(2x=2\)

\(x=\frac{2}{2}\)

\(x=1\)

Representação de 1 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

Para que a divisão tenha resultado positivo, ou o numerador e o denominador devem ser positivos, ou ambos devem ser negativos:

Tabela com o estudo de sinais do numerador e do denominador da inequação quociente.

Portanto, a solução dessa inequação é a união dos intervalos x < 1 ou x > 6.

Exercícios resolvidos sobre inequação produto e inequação quociente

Questão 1

(Vunesp) Os números reais que satisfazem a inequação (x + 1) (x – 2) (x – 3) > 0 são descritos por:

A) x > 3

B) x < – 1

C) x > 2

D) –1 < x < 2 e x > 3

E) –1 < x < 2 ou x > 3

Resolução:

Alternativa E

Primeiramente, faremos o estudo de sinal para cada um dos fatores, encontrando o 0 de cada uma delas:

x + 1 = 0

x = – 1

Representação de –1 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

x – 2 = 0

x = 2

Representação de 2 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

x – 3 = 0

x = 3

Outra representação de 3 no eixo de abscissas do plano cartesiano.

Analisando o sinal do produto, temos que:

Tabela com o estudo de sinais e a análise do produto dos fatores da inequação produto em resolução de questão.

Assim, as soluções desse conjunto são –1 < x < 2 ou x > 3.

Questão 2

Analise a inequação a seguir:

\(\frac{x-3}{5-x}\le0\)

Sobre essa inequação, podemos afirmar que:

I. É uma inequação quociente.

II. x = 2 é uma solução para a inequação.

III. x = 5 é uma solução da inequação.

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é falsa.

B) Somente II é falsa.

C) Somente III é falsa.

D) Todas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa C

I. Verdadeira

Note que há uma razão entre duas expressões algébricas, logo essa é uma inequação quociente.

II. Verdadeira

Para verificar se 2 é solução, substituiremos x = 2 na inequação:

\(\frac{2-3}{5-2}\le0\)

\(\frac{-1}{3}\le0\)

\(\frac{-1}{3}\le0\)

Sabemos que \(\frac{-1}{3}\) é menor que 0, logo x = 2 é uma solução.

III. Falsa

Se x = 5, note que o denominador seria 0, sendo que é impossível dividir por 0. Logo, x deve ser diferente de 5.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Inequação produto e inequação quociente"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacao-produto-e-quociente.htm. Acesso em 06 de julho de 2022.

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Exercício 1

De acordo com o conjunto dos números Reais, determine o valor de x na seguinte inequação produto: (2x + 1) * (x + 2) ≤ 0.

Exercício 2

Resolva, de acordo com os números Reais, a inequação quociente dada por

 

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