Conhecemos como inequação modular uma expressão algébrica que possui uma desigualdade (>, ≥, < ou ≤) e uma variável dentro do módulo. Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação, aplicamos a definição de módulo, logo, é comum dividirmos essa inequação em alguns casos; um deles é quando o valor que está dentro do módulo é positivo e outro é quando o valor que está dentro do módulo é negativo. Após encontrar as soluções de cada caso separadamente, a solução da inequação modular será a união das soluções de cada caso.
Leia também: Como resolver uma equação modular?
Inequação modular é uma expressão algébrica que possui um módulo dentro da incógnita e um sinal de desigualdade.
Para resolver a inequação, separamos o módulo em dois casos; o primeiro é quando o valor que está dentro do módulo é positivo e o segundo é quando o valor que está dentro do módulo é negativo.
O conjunto de soluções de uma inequação é a união das soluções de cada caso.
Para compreender o que é uma inequação modular, primeiro vamos lembrar o que é uma inequação e o que é o módulo de um número.
A inequação é uma expressão algébrica que possui um símbolo de desigualdade, ou seja: <, >, ≤ ou ≥. Já o módulo de um número n é representado por |n|, que é a distância que o número está até o zero. Então, uma inequação será conhecida como inequação modular quando ela for uma expressão que possui uma ou mais incógnitas dentro do módulo, conforme as inequações a seguir:
Exemplos:
• |x| < 3
• |x + 4| > -5
• |x – 3| ≥ 2x
• 10 ≤ |x + 4|
Perceba que há sempre uma incógnita dentro do módulo e um símbolo de desigualdade, o que faz com que as expressões sejam inequações modulares.
Ao se deparar com uma inequação qualquer, ela sempre possuirá um conjunto de soluções em específico. Para encontrar o conjunto de soluções, é importante lembrarmos a definição de módulo:
|n| = n → se n > 0
|n| = -n → se n < 0
Vejamos, a seguir, como resolver inequações modulares.
Exemplo 1:
|x| > 2
Para resolver a inequação, vamos dividir essa inequação em dois casos:
1º caso: x > 0
Se x > 0 → |x| = x, substituindo na inequação, temos que:
x > 2
2º caso: x < 0
Se x < 0 → |x| = -x, substituindo na inequação, temos que:
-x > 2 · (-1)
x < -2
Então, temos como conjunto de soluções da inequação a união da solução do 1º e 2º casos, ou seja:
S: {x Є R | x < -2 ou x > 2}
Podemos também fazer a representação geométrica do conjunto de soluções:
Exemplo 2:
|x + 4| ≤ 9
Assim como no exemplo anterior, separaremos em dois casos:
1º caso: x + 4 > 0
Se x + 4 > 0, então, |x + 4| = x + 4, logo, teremos que:
x + 4 ≤ 9
x ≤ 9 – 4
x ≤ 5
2º caso: x + 4 < 0
Se x + 4 < 0, então, |x + 4| = – (x + 4), logo, teremos que:
– (x + 4) ≤ 9 · (-1)
x + 4 ≥ -9
x ≥ -9 – 4
x ≥ -13
S = {x Є R | -13 ≤ x ≤ 5}
Representação geométrica da solução:
Exemplo 3:
Partindo para um exemplo mais complexo, vamos resolver a inequação:
1 ≤ |x + 2| < 8
1º caso: |x + 2| > 0, então, |x + 2| = x + 2
1 ≤ |x + 2| < 8
1 ≤ x + 2 < 8
Subtraindo 2 em todos os membros, temos que:
1 – 2 ≤ x + 2 – 2 < 8 – 2
-1 ≤ x < 6
2º caso: |x + 2| < 0, então, |x + 2| = – (x + 2)
1 ≤ – (x + 2) < 8
Multiplicando por -1, temos que:
-1 ≥ x + 2 > -8
Subtraindo 2 em todos os membros, temos que:
-1 – 2 ≥ x + 2 – 2 > -8 – 2
-3 ≥ x > -10
Podemos reescrever a inequação como:
-10 < x ≤ -3
Sendo assim, o conjunto de soluções dessa inequação é:
S = {x Є R | -10 < x ≤ -3 ou -1 ≤ x < 6}
Representação geométrica da solução:
Veja também: O que é uma equação produto?
Questão 1 - (EsPCEx - 2017) O conjunto solução da inequação | |x – 4| + 1 | ≤ 2 é um intervalo do tipo [a,b]. O valor de a + b é igual a:
A) -8
B) -2
C) 0
D) 2
E) 8
Resolução
Alternativa E
Analisando a inequação modular | |x – 4| + 1 | ≤ 2, para eliminar o primeiro módulo, sabemos que | x – 4| + 1 será sempre um número positivo, pois |x – 4| é positivo, e, ao somar 1, o resultado também é positivo, então, vamos eliminar o primeiro módulo:
|x – 4| + 1 ≤ 2
|x – 4| ≤ 2 -1
|x – 4| ≤ 1
Agora separaremos em dois casos. O 1º caso é: se x – 4 for maior que 0, ou seja, um número positivo, então |x – 4| = x – 4
x – 4 ≤ 1
x ≤ 1 + 4
x ≤ 5
O 2º caso é: se x – 4 for menor que 0, ou seja, um número negativo, então, |x – 4| = – (x – 4):
– (x – 4) ≤ 1 · (-1)
x – 4 ≥ -1
x ≥ -1 + 4
x ≥ 3
Então, o conjunto de soluções é o conjunto [3,5].
A soma: 3 + 5 = 8
Questão 2 - (FGV – SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades |x – 2| ≤ 3 e |3x – 2| > 5, obtemos:
A) 12
B) 60
C) -12
D) -60
E) 0
Resolução
Alternativa B
Resolveremos cada inequação separadamente:
Inequação I:
|x – 2| ≤ 3
1º caso: x – 2 > 0 → |x – 2| = x – 2
x – 2 ≤ 3
x ≤ 3 + 2
x ≤ 5
2º caso: x – 2 < 0 → |x – 2| = – (x – 2)
– (x – 2) ≤ 3 (-1)
x – 2 ≥ -3
x ≥ -3 + 2
x ≥ -1
As soluções da inequação estão entre -1 e 5, queremos só as soluções que são números naturais, são eles: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Inequação II:
|3x – 2| > 5
1º caso: 3x – 2 > 0 → |3x – 2| = 3x – 2
3x – 2 > 5
3x > 5 + 2
3x > 7
x > 7/3
x > 2,33…
2º caso: 3x – 2 < 0 → |3x – 2| = – (3x – 2)
– (3x – 2) > 5 · (-1)
3x – 2 < -5
3x < -5 + 2
3x < -3
x < -3/3
x < -1
Os números naturais que satisfazem a inequação II são os números maiores que 2,33…, ou seja, 3, 4, 5, 6, 7…
Os números naturais que são solução tanto da inequação I quanto da inequação II são os números 3, 4 e 5, o produto entre eles é 3 · 4 · 5 = 60.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Inequação modular"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacao-modular.htm. Acesso em 26 de julho de 2021.
Resolva a desigualdade:
| x – 2 | ≥ x
Resolva a inequação modular a seguir:
|2x + 1| > x + 5
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