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Inequação modular

Matemática

Como o nome sugere, inequação modular é uma inequação que possui incógnita no módulo. Para resolver uma inequação modular, analisamos cada um dos casos possíveis.
A inequação modular é uma expressão algébrica que apresenta uma desigualdade e uma ou mais incógnitas dentro de um módulo.
A inequação modular é uma expressão algébrica que apresenta uma desigualdade e uma ou mais incógnitas dentro de um módulo.
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Conhecemos como inequação modular uma expressão algébrica que possui uma desigualdade (>, ≥, < ou ) e uma variável dentro do módulo. Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação, aplicamos a definição de módulo, logo, é comum dividirmos essa inequação em alguns casos; um deles é quando o valor que está dentro do módulo é positivo e outro é quando o valor que está dentro do módulo é negativo. Após encontrar as soluções de cada caso separadamente, a solução da inequação modular será a união das soluções de cada caso.

Leia também: Como resolver uma equação modular?

Resumo sobre inequação modular

  • Inequação modular é uma expressão algébrica que possui um módulo dentro da incógnita e um sinal de desigualdade.

  • Para resolver a inequação, separamos o módulo em dois casos; o primeiro é quando o valor que está dentro do módulo é positivo e o segundo é quando o valor que está dentro do módulo é negativo.

  • O conjunto de soluções de uma inequação é a união das soluções de cada caso.

O que é uma inequação modular?

Para compreender o que é uma inequação modular, primeiro vamos lembrar o que é uma inequação e o que é o módulo de um número.

A inequação é uma expressão algébrica que possui um símbolo de desigualdade, ou seja: <, >, ≤ ou ≥. Já o módulo de um número n é representado por |n|, que é a distância que o número está até o zero. Então, uma inequação será conhecida como inequação modular quando ela for uma expressão que possui uma ou mais incógnitas dentro do módulo, conforme as inequações a seguir:

Exemplos:

• |x| < 3

• |x + 4| > -5

• |x – 3| ≥ 2x

• 10 ≤ |x + 4|

Perceba que há sempre uma incógnita dentro do módulo e um símbolo de desigualdade, o que faz com que as expressões sejam inequações modulares.

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Resolução de uma inequação modular

Ao se deparar com uma inequação qualquer, ela sempre possuirá um conjunto de soluções em específico. Para encontrar o conjunto de soluções, é importante lembrarmos a definição de módulo:

|n| = n → se n > 0

|n| = -n → se n < 0

Vejamos, a seguir, como resolver inequações modulares.

Exemplo 1:

|x| > 2

Para resolver a inequação, vamos dividir essa inequação em dois casos:

1º caso: x > 0

Se x > 0 → |x| = x, substituindo na inequação, temos que:

x > 2

2º caso: x < 0

Se x < 0 → |x| = -x, substituindo na inequação, temos que:

-x > 2 · (-1)

x < -2

Então, temos como conjunto de soluções da inequação a união da solução do 1º e 2º casos, ou seja:

S: {x Є R | x < -2 ou x > 2}

Podemos também fazer a representação geométrica do conjunto de soluções:

Representação geométrica do conjunto solução S: {x Є R | x < -2 ou x > 2} de uma inequação modular.

Exemplo 2:

|x + 4| ≤ 9

Assim como no exemplo anterior, separaremos em dois casos:

1º caso: x + 4 > 0

Se x + 4 > 0, então, |x + 4| = x + 4, logo, teremos que:

x + 4 ≤ 9

x ≤ 9 – 4

x ≤ 5

2º caso: x + 4 < 0

Se x + 4 < 0, então, |x + 4| = – (x + 4), logo, teremos que:

– (x + 4) ≤ 9 · (-1)

x + 4 ≥ -9

x ≥ -9 – 4

x ≥ -13

S = {x Є R | -13 ≤ x ≤ 5}

Representação geométrica da solução:

Representação geométrica do conjunto solução S = {x Є R | -13 ≤ x ≤ 5} de uma inequação modular.

Exemplo 3:

Partindo para um exemplo mais complexo, vamos resolver a inequação:

1 ≤ |x + 2| < 8

1º caso: |x + 2| > 0, então, |x + 2| = x + 2

1 ≤ |x + 2| < 8

1 ≤ x + 2 < 8

Subtraindo 2 em todos os membros, temos que:

1 – 2 ≤ x + 2 – 2 < 8 – 2

-1 ≤ x < 6

2º caso: |x + 2| < 0, então, |x + 2| = – (x + 2)

1 ≤ – (x + 2) < 8

Multiplicando por -1, temos que:

-1 ≥ x + 2 > -8

Subtraindo 2 em todos os membros, temos que:

-1 – 2 ≥ x + 2 – 2 > -8 – 2

-3 ≥ x > -10

Podemos reescrever a inequação como:

-10 < x ≤ -3

Sendo assim, o conjunto de soluções dessa inequação é:

S = {x Є R | -10 < x ≤ -3 ou -1 ≤ x < 6}

Representação geométrica da solução:

Representação geométrica do conjunto solução S = {x Є R | -10 < x ≤ -3 ou -1 ≤ x < 6} de uma inequação modular.

Veja também: O que é uma equação produto?

Exercícios resolvidos sobre inequação modular

Questão 1 - (EsPCEx - 2017) O conjunto solução da inequação | |x – 4| + 1 | ≤ 2 é um intervalo do tipo [a,b]. O valor de a + b é igual a:

A) -8

B) -2

C) 0

D) 2

E) 8

Resolução

Alternativa E

Analisando a inequação modular | |x – 4| + 1 | ≤ 2, para eliminar o primeiro módulo, sabemos que | x – 4| + 1 será sempre um número positivo, pois |x – 4| é positivo, e, ao somar 1, o resultado também é positivo, então, vamos eliminar o primeiro módulo:

|x – 4| + 1 ≤ 2

|x – 4| ≤ 2 -1

|x – 4| ≤ 1

Agora separaremos em dois casos. O 1º caso é: se x – 4 for maior que 0, ou seja, um número positivo, então |x – 4| = x – 4

x – 4 ≤ 1

x ≤ 1 + 4

x ≤ 5

O 2º caso é: se x – 4 for menor que 0, ou seja, um número negativo, então, |x – 4| = – (x – 4):

– (x – 4) ≤ 1 · (-1)

x – 4 ≥ -1

x ≥ -1 + 4

x ≥ 3

Então, o conjunto de soluções é o conjunto [3,5].

A soma: 3 + 5 = 8

Questão 2 - (FGV – SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades |x – 2| ≤ 3 e |3x – 2| > 5, obtemos:

A) 12

B) 60

C) -12

D) -60

E) 0

Resolução

Alternativa B

Resolveremos cada inequação separadamente:

Inequação I:

|x – 2| ≤ 3

1º caso: x – 2 > 0 → |x – 2| = x – 2

x – 2 ≤ 3

x ≤ 3 + 2

x ≤ 5

2º caso: x – 2 < 0 → |x – 2| = – (x – 2)

– (x – 2) ≤ 3 (-1)

x – 2 ≥ -3

x ≥ -3 + 2

x ≥ -1

As soluções da inequação estão entre -1 e 5, queremos só as soluções que são números naturais, são eles: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Inequação II:

|3x – 2| > 5

1º caso: 3x – 2 > 0 → |3x – 2| = 3x – 2

3x – 2 > 5

3x > 5 + 2

3x > 7

x > 7/3

x > 2,33…

2º caso: 3x – 2 < 0 → |3x – 2| = – (3x – 2)

– (3x – 2) > 5 · (-1)

3x – 2 < -5

3x < -5 + 2

3x < -3

x < -3/3

x < -1

Os números naturais que satisfazem a inequação II são os números maiores que 2,33…, ou seja, 3, 4, 5, 6, 7…

Os números naturais que são solução tanto da inequação I quanto da inequação II são os números 3, 4 e 5, o produto entre eles é 3 · 4 · 5 = 60.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Inequação modular"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacao-modular.htm. Acesso em 26 de julho de 2021.

Lista de Exercícios
Questão 1

Resolva a desigualdade:

| x – 2 | ≥ x

Questão 2

Resolva a inequação modular a seguir:

|2x + 1| > x + 5

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