Volume do cone

O volume do cone é a medida da capacidade desse sólido geométrico. Seu valor é obtido multiplicando-se a medida da área de sua base (A_b) por sua altura (h), dividindo, em seguida, o resultado por três. Essa é justamente a descrição da fórmula presente na imagem a seguir.

A unidade de medida padrão do volume de qualquer sólido geométrico é o metro cúbico (m³). Dela são derivadas todas as outras: milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico, decâmetro cúbico, hectômetro cúbico e quilômetro cúbico. As siglas usadas para representar cada uma dessas medidas são, respectivamente: mm³, cm³, dm³, dam³, hm³ e km³.

Sabendo que a base de um cone é sempre um círculo, podemos substituir, na fórmula do volume do cone, a área da base do cone pela fórmula da área do círculo. Assim, obteremos a expressão:

Nessa fórmula, r é o raio da base do cone (círculo), e h é a altura desse sólido geométrico.

Tópicos deste artigo

• 1 - Exemplo 1
• 2 - Elementos de um cone
• 3 - Exemplo 2

Exemplo 1

Um cone possui 21 cm de altura, e seu raio mede 10 cm. Qual é o volume desse cone? Considere π = 3.

Para resolver esse problema, basta substituir os valores dados na fórmula do volume do cone:

Veja também: Área do cone

Elementos de um cone

Para facilitar o cálculo de volume do cone, é bom conhecer os elementos que o constituem e as fórmulas/expressões mais usadas nos problemas desse conteúdo. Na imagem abaixo, temos um cone chamado oblíquo à esquerda e um cone reto à direita.

V – vértice do cone

g – segmento de reta chamado geratriz do cone. Qualquer segmento de reta com extremidades na circunferência da base e no vértice do cone é uma geratriz. Em cones retos, todas as geratrizes são congruentes (possuem medidas iguais).

r – raio do cone, que também é raio da circunferência da base desse sólido.

h – altura do cone

Quando o cone é reto, ou seja, quando sua altura é perpendicular à sua base, vale a seguinte relação entre geratriz, raio e altura:

A fórmula da área do círculo, que é igual à área da base do cone, pode ser usada para encontrar o raio quando este não for fornecido pelo exercício.

Exemplo 2

(UNIFOR-CE-modificada) Em um cone reto, a área da base é 9π cm², e a geratriz mede 3√10 cm. Qual é o volume desse cone, em centímetros cúbicos?

Para calcular o volume do cone, precisamos conhecer as medidas de seu raio e de sua altura. A medida do raio desse cone poderá ser obtida por meio da fórmula da área do círculo. Nesse caso, basta substituir o valor da área da base do cone na fórmula da área do círculo:

Para descobrir a altura do cone, será necessário usar a fórmula que relaciona raio, geratriz e altura:

De posse das medidas da altura e do raio do cone, basta calcularmos seu volume. Para isso, podemos usar a seguinte fórmula:

Logo, o volume do cone é 27π cm³.

Por Luiz Paulo Silva
Graduado em Matemática