Os ângulos notáveis são ângulos que comumente estão presentes em situações envolvendo razões trigonométricas. São eles os ângulos de 30º, 45º e 60º. Nesses ângulos, é comum que os valores do seno, do cosseno e da tangente sejam conhecidos e representados na tabela dos valores dos ângulos notáveis. Os ângulos notáveis nos ajudam a resolver problemas que envolvem trigonometria.
Leia também: Teorema de Pitágoras — relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo em tópicos sobre ângulos notáveis
- 2 - Videoaula sobre os ângulos notáveis
- 3 - O que são ângulos notáveis?
- 4 - Valores do seno, do cosseno e da tangente
- 5 - Tabela de valores dos ângulos notáveis
- 6 - Como calcular os ângulos notáveis?
- 7 - Exercícios sobre ângulos notáveis
Resumo em tópicos sobre ângulos notáveis
- Os ângulos notáveis são ângulos que aparecem recorrentemente em problemas envolvendo trigonometria.
- Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º.
- É importante conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis. De modo geral, temos que:
- sen(30°) = \(\frac{1}{2}\) sen(45°) = \(\frac{\sqrt2}{2}\) sen(60°) = \(\frac{\sqrt3}{2}\)
- cos(30°) = \(\frac{\sqrt3}{2}\) cos(45°) = \(\frac{\sqrt2}{2}\) cos(60°) = \(\frac{1}{2}\)
- tan(30°) = \(\frac{\sqrt3}{3}\) tan(45°) = 1 tan(60°) = \(\sqrt3\)
Videoaula sobre os ângulos notáveis
O que são ângulos notáveis?
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são conhecidos como ângulos notáveis por serem os ângulos mais recorrentes em situações que envolvem as razões trigonométricas. Por serem bastante recorrentes, é importante saber qual é o valor do seno, do cosseno e da tangente desses ângulos.
Valores do seno, do cosseno e da tangente
De modo geral, o seno, o cosseno e a tangente são conhecidos como razões trigonométricas —relações entre lados de um triângulo retângulo. Para compreender o valor do seno, do cosseno e da tangente, veja a imagem a seguir:
Relações de seno, cosseno e tangente de um ângulo.
Analisando a imagem, podemos afirmar que:
- O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa do triângulo.
\(sen \theta = \frac {cateto\ oposto}{hipotenusa}\)
- O cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa do triângulo.
\(cos \theta = \frac {cateto\ adjacente}{hipotenusa}\)
- A tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo θ e o cateto adjacente a θ .
\(tan \theta = \frac {cateto\ oposto}{cateto\ adjacente}\)
Tabela de valores dos ângulos notáveis
Como calcular os ângulos notáveis?
Para demonstrar o valor de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, primeiro analisaremos um triângulo equilátero com a altura h a seguir:
Por Pitágoras, temos que:
\(\left( \frac{l}{2} \right)^2 + l^2 = h^2 \)
\(\frac{l^2}{4} + l^2 = h^2 \)
Invertendo a igualdade temos que:
\(h^2 = \frac{l^2}{4} + l^2 \)
\(h^2 = \frac{3l^2}{4} \)
\(h = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} \)
\(h=\frac{√3l}{2}\)
Considerando o triângulo AHC.
Começando pelo seno de 30º, temos que:
\(sen(30^\circ) = \frac{\overline{HC}}{\overline{AC}} \)
\(sen(30^\circ) = \frac{\frac{l}{2}}{l} \)
\(sen(30^\circ) = \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{l} \)
\(sen(30°) = \frac{1}{2} \)
Agora, sobre o seno de 60º, temos que:
\(sen(60°) = \frac{h}{l} \)
Mas sabemos que \(h=\frac{√3l}{2}\).
Logo, temos que:
\(sen(60°)= \frac{\frac{\sqrt{3} l}{2}}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Agora, calcularemos a tangente de 30º:
\(\tan(30°) = \frac{\frac{l}{2}}{\frac{\sqrt{3} l}{2}} = \frac{l}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} l} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\(\tan(60°) = \frac{\frac{\sqrt{3} l}{2}}{\frac{l}{2}} = \frac{\sqrt{3} l}{2} \cdot \frac{2}{l} = \sqrt{3} \)
Para demonstrar o seno, o cosseno e a tangente de 45º, faremos um triângulo isósceles de ângulos medindo 45º.
Por Pitágoras, temos que:
\(l^2 + l^2 = d^2 \)
\(2 l^2 = d^2 \)
\(d = \sqrt2 l\)
Então temos que:
\(sen(45º) = \frac{l}{\sqrt{2} l} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\(cos(45º) = \frac{l}{\sqrt{2} l} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\(tan(45°) = \frac{l}{l} = 1\)
Leia também: Cálculos envolvendo semelhança de triângulos
Exercícios sobre ângulos notáveis
Questão 1
(Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
A) 0,5 m
B) 1 m
C) 1,5 m
D) 1,7 m
E) 2 m
Resolução:
Alternativa B
Representando a situação, temos que:
Para calcular o valor de x, aplicaremos o seno de 30º:
\(sen(30°) = \frac{x}{2}\)
Sabemos que \(sen(30°) = \frac{1}{2}\), então temos que:
\(\frac{1}{2} = \frac{x}{2}\)
\(2x = 2\)
\(x = \frac{2}{2}\)
\(x = 1\)
Questão 2
O terreno do Lucca tem o formato de um retângulo cujo lado menor mede 16 m. Sabendo que o ângulo formado entre o lado menor e a diagonal é de 60º, qual o valor que mais se aproxima da diagonal? (use √3 = 1,7)
A) 10
B) 16
C) 18
D) 24
E) 32
Resolução:
Alternativa E
Dada a diagonal AC e aplicando o cosseno de 60°, temos que:
\(\cos(60º) = \frac{16}{\overline{AC}} \)
\(\frac{1}{2} = \frac{16}{\overline{AC}}\)
\(\overline{AC} = 2 \cdot 16\)
\(\overline{AC} = 32 m\)
