Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria no triângulo retângulo é a área da Matemática que analisa a relação existente entre os ângulos de um triângulo e a medida dos seus lados. Ela é fundamental para diversas aplicações práticas, como na Engenharia, na Física, entre outras áreas. Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais em relação ao ângulo, são eles: hipotenusa, cateto adjacente e cateto oposto.

As principais razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente. Essas razões são a divisão entre dois lados do triângulo retângulo. Existem os ângulos notáveis, os que mais aparecem em problemas matemáticos e que medem 30º, 45º e 60º. Aprender o valor do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis é fundamental para resolver situações envolvendo trigonometria.

Leia também: Teorema de Pitágoras — relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre trigonometria no triângulo retângulo
• 2 - O que é a trigonometria do triângulo retângulo?
• 3 - Composição do triângulo retângulo
• 4 - Fórmulas da trigonometria do triângulo retângulo
• 5 - Relações trigonométricas do triângulo retângulo
• 6 - Ângulos notáveis
  • → Videoaula sobre ângulos notáveis
• 7 - Aplicações da trigonometria no triângulo
• 8 - Exercícios resolvidos sobre trigonometria do triângulo retângulo

Resumo sobre trigonometria no triângulo retângulo

• A trigonometria no triângulo retângulo é a área que analisa a relação entre a medida dos lados e dos ângulos do triângulo.
• Os lados do triângulo retângulo, a depender do ângulo a ser analisado, são conhecidos como hipotenusa, cateto oposto e cateto adjacente.
• As relações trigonométricas são seno, cosseno e tangente.

$sen\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$

$cos\alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$

$tg\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$

• Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º, e os valores do seno, cosseno e tangente desses ângulos são utilizados para facilitar a resolução de situações problemas.

O que é a trigonometria do triângulo retângulo?

A trigonometria do triângulo retângulo é o estudo das relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo. Seu principal objetivo é encontrar medidas desconhecidas de lados ou ângulos utilizando razões trigonométricas. No estudo da trigonometria, é possível encontrar uma proporção entre as medidas dos lados e o ângulo do triângulo retângulo. Trata-se das razões trigonométricas, as principais são: o seno, o cosseno e a tangente.

Composição do triângulo retângulo

Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais, o maior lado é conhecido como hipotenusa, sempre oposta ao ângulo de 90°. Já os outros dois lados são chamados de catetos.

Agora, a depender do ângulo interno que estamos analisando, o cateto pode ser conhecido como cateto adjacente ou cateto oposto. Como o nome sugere, cateto oposto é o cateto que está oposto ao ângulo, já o cateto adjacente é o cateto que, como a hipotenusa, é um lado do ângulo. Veja a seguir:

Cateto oposto e cateto adjacente considerando-se o ângulo α.

Cateto oposto e cateto adjacente considerando-se o ângulo β.

Fórmulas da trigonometria do triângulo retângulo

As principais razões trigonométricas são o seno, o cosseno e a tangente. As fórmulas de cada uma delas são:

 

• Fórmula do seno:

$sen\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$

• Fórmula do cosseno:

$cos\alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$

• Fórmula da tangente:

$tan\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$

Veja também: Quais são as identidades trigonométricas?

Relações trigonométricas do triângulo retângulo

Além das fórmulas da trigonometria, existem as relações trigonométricas. As principais são:

$sen^2\alpha + cos ^2\alpha = 1$

$1 + tan^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$

$tan\alpha = \frac{sen\alpha}{cos \alpha}$

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis — 30°, 45° e 60° — são amplamente utilizados em trigonometria porque têm razões trigonométricas exatas que facilitam cálculos. Os valores do seno do cosseno e da tangente dos ângulos notáveis são normalmente representados pela tabela a seguir:

→ Videoaula sobre ângulos notáveis

Aplicações da trigonometria no triângulo

Agora que conhecemos as razões trigonométricas e os ângulos notáveis, vamos ver alguns exemplos de aplicação da trigonometria para encontrar valores desconhecidos em um triângulo retângulo.

• Exemplo 1:

Encontre o valor de x no triângulo retângulo a seguir:

Resolução:

Analisando o ângulo conhecido, é possível identificar que x é a hipotenusa desse triângulo e que o lado cuja medida é igual a 5 cm é o cateto oposto ao ângulo.

A razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e hipotenusa é o seno, pois sabemos que:

$sen\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$

Então temos que:

$sen 30º = \frac{5}{x}$

Consultando a tabela dos ângulos notáveis, sabemos que $sen 30º = \frac{1}{2}$, então temos:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{x}$

Multiplicando cruzado:

$1x = 5\cdot 2$

x = 10

Então x = 10 cm

• Exemplo 2:

Analisando a imagem a seguir, calcule o valor de x:

Resolução:

Analisando a imagem, é possível identificar que o lado que mede 8 cm corresponde ao cateto adjacente ao ângulo de 45º e que o lado que mede x corresponde à hipotenusa desse triângulo, então a razão trigonométrica que relaciona cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno.

$cos\alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$

$cos 45º = \frac{8}{x}$

Ao consultar a tabela dos ângulos notáveis, temos que:

$cos 45º = \frac{\sqrt 2}{2}$

Logo, temos que:

$\frac{\sqrt 2}{2} = \frac{8}{x}$

$x\sqrt 2 = 2\cdot 8$

$x\sqrt 2 = 16$

$x = \frac{16}{\sqrt 2}$

Racionalizando:

$x = \frac{16}{\sqrt 2} \cdot \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}$

$x = \frac{16\sqrt 2}{2}$
$x = 8\sqrt 2$

• Exemplo 3:

Analisando o triângulo a seguir, calcule o valor de x:

Resolução:

Analisando a imagem, é possível identificar que o lado que mede 6 cm corresponde ao cateto adjacente ao ângulo de 60º e que o lado que mede x corresponde ao cateto oposto desse triângulo, então a razão trigonométrica que relaciona cateto adjacente e cateto oposto é a tangente.

$tan\alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$

$tan 60º = \frac{6}{x}$

Consultando a tabela dos ângulos notáveis,$tan 60º = {\sqrt 3}$.

${\sqrt 3} = \frac{6}{x}$

$x{\sqrt 3} = 6$

$x = \frac{6}{\sqrt3}$

Racionalizando:

$x=\frac{6}{\sqrt 3} \cdot \frac{\sqrt 3}{\sqrt 3}$

$x=\frac{6\sqrt 3} {3}$

$x=2\sqrt 3$

Saiba mais: Como é feita a classificação dos triângulos

Exercícios resolvidos sobre trigonometria do triângulo retângulo

Heitor quer instalar uma escada para acessar o telhado de sua casa. A escada forma um ângulo de 60° com o chão e seu comprimento é de 5 metros. Qual a altura aproximada do telhado, considerando que a escada toca a parede no ponto mais alto? (use √3 = 1,7)

A) 2,50 m
B) 4,25 m
C) 3,80 m
D) 5,00 m
E) 6,35 m

Resolução:

Alternativa B

A escada representa a hipotenusa do triângulo retângulo, e a altura do telhado é o cateto oposto ao ângulo de 60°. Utilizamos a relação:

$sen 60º = \frac{h}{5}$

Sabemos que $sen 60º = \frac{\sqrt 3}{2}$

$\frac{\sqrt3}{2} = \frac{h}{5}$

$2h = 5\sqrt3$

$h= \frac{5\sqrt3}{2}$

$h= \frac{5\cdot 1,7}{2}$

$h=4,25$

Questão 2

Uma árvore projetou uma sombra de 12 metros no chão. Se o ângulo de elevação do Sol em relação ao topo da árvore é de 30°, qual é a altura aproximada da árvore? (use √3 = 1,7)

A) 3,5 m
B) 6,8 m
C) 12,2 m
D) 18,0 m
E) 24,6 m

Resolução:

Alternativa B
Neste caso, a árvore representa o cateto oposto e a sombra é o cateto adjacente. Usamos a tangente:

$\tan 30^\circ = \frac{h}{12}$

Consultando a tabela, sabemos que:

$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \\$

Logo:

$\frac{h}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 3h = 12\sqrt{3} \\ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \\ h = 4\sqrt{3} \\ h = 4 \cdot 1,7 \\ h = 6,8$

Questão 3

Um engenheiro precisa medir a altura de um poste. Ele se posiciona a 8 metros da base do poste e mede um ângulo de elevação de 45° até o topo. Qual é a altura do poste?

A) 4 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 10 m
E) 12 m

Resolução:

Alternativa C

A relação trigonométrica que utilizamos aqui é a tangente, pois temos o cateto oposto, que é a altura do poste, e o cateto adjacente, que é a distância do engenheiro até a base do poste.

$\tan 45^\circ = \frac{x}{8}$

Ao consultar a tabela, temos que tan 45° = 1, logo:

$1 = \frac{x}{8} \\ x = 8 \cdot 1 \\ x = 8$

Fontes

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005. 3 v.

MORGADO, Augusto César de Oliveira. Trigonometria e Números Complexos. 1. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1999.