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Identidades Trigonométricas

Matemática

A resolução de identidades trigonométricas pode ser realizada pela demonstração através das relações trigonométricas conhecidas.
Aprenda a utilizar essa e outras relações nas demonstrações de identidades trigonométricas
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As identidades trigonométricas configuram-se como igualdades de funções trigonométricas em que ambos os lados da igualdade são válidos dentro do domínio das funções envolvidas. De início pode parecer confuso, mas veremos que a verificação delas é bastante simples.

 

Por exemplo, você se lembra das relações trigonométricas e das relações derivadas? Todas elas são exemplos de identidades trigonométricas. Vamos relembrá-las:

 

sen² x + cos² x = 1

tg x = sen x
         
cos x

cotg x =   1    = cos x
                
tg x    sen x

sec x =    1    
            
cos x

cossec x =     1    
                    
sen x

tg² x + 1 = sec² x

cotg² x + 1 = cossec² x

Em geral, a forma utilizada para a resolução de identidades trigonométricas é a demonstração através das relações trigonométricas conhecidas. Podemos realizar essa demonstração ao desenvolver os dois lados da equação trigonométrica, chegando a um mesmo valor em ambos os lados. É possível também que, trabalhando com apenas um lado, cheguemos ao que está indicado no outro lado da igualdade. Vejamos através de exemplos como são feitas essas demonstrações de identidades trigonométricas.

Exemplo 1:

tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x))

Chamemos tg² (x) . (cos (x) – sen (x)) de f(x) e sen (x) . (tg(x) – tg² (x)) de g(x). A estratégia para demonstrar essa identidade é desenvolver f(x) até chegar a g(x).

f(x) = tg² (x) . (cos (x) – sen (x))

f(x) = tg² (x). cos (x) – tg² (x). sen (x)

Podemos substituir tg² (x) pelo quociente sen² (x) : cos² (x), logo:

f(x) = sen² (x). cos (x)sen² (x). sen (x)
cos² (x)                 cos² (x)    

Simplificando o cos (x) do numerador da primeira fração com o cos² (x) do denominador, temos:

f(x) = sen² (x)sen² (x). sen (x)
cos (x)    cos² (x)   

f(x) = sen (x). sen (x)sen² (x). sen (x)
   cos (x)           cos² (x)

f(x) = sen (x). sen (x)sen² (x). sen (x)
          cos (x)   cos² (x)

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f(x) = sen (x). tg (x)tg² (x). sen (x)

Colocando o termo sen (x) em evidência, teremos:

f(x) = sen (x). (tg (x) – tg² (x))

Mas g(x) = sen (x) . (tg(x) – tg² (x)), lembra-se? Portanto, podemos concluir que f(x) = g(x). Sendo assim, provamos que a identidade é válida.

Exemplo 2:

   sec (x)   =           2          
          1 + sen (x)  sen (2x) + 2 cos (x)  

Chamemos o 1° membro da igualdade de f(x) e o 2° membro de g(x). Para demonstrar essa identidade, vamos desenvolver ambos os lados da igualdade até chegar a f(x) = g(x).

      sec (x)      =                2               
            1 + sen (x)    sen (2x) + 2 cos (x)       

Lembra-se das funções trigonométricas do arco duplo? Através delas, podemos concluir que sen (2x) = 2.sen(x).cos(x). Podemos utilizar também que sec (x) = ¹/cos (x), logo:

    ¹/cos (x)      =                   2                     
       1 + sen (x)    2. sen (x). cos (x) + 2 cos (x)

     1     .          1         =                     2                    
cos (x)    1 + sen (x)        2cos(x). [sen (x) + 1]  

                     1                     =                        1                     
cos (x). [1 + sen (x)]             1cos(x). [sen (x) + 1]

                    1                     =                        1                       
cos (x) + cos(x).sen (x)        cos(x).sen (x) + cos (x)   

Assim, podemos concluir que a identidade é verdadeira.


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Identidades Trigonométricas"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/identidades-trigonometricas.htm. Acesso em 19 de junho de 2019.

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