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Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são igualdades que associam funções trigonométricas. A tangente, definida pela razão entre seno e cosseno, é um dos exemplos mais importantes.

Fundo preto com o escrito “identidades trigonométricas”.
Quando as igualdades associam funções trigonométricas, dizemos que são identidades trigonométricas.
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As identidades trigonométricas são relações entre funções trigonométricas. A tangente e a identidade fundamental são os principais exemplos dessas relações, existindo, ainda, as funções secante, cossecante e cotangente.

Leia também: Transformações trigonométricas — as fórmulas que facilitam o cálculo de algumas razões trigonométricas

Tópicos deste artigo

Resumo sobre identidades trigonométricas

  • As identidades trigonométricas são igualdades que relacionam funções trigonométricas.
  • Os principais exemplos de identidades trigonométricas são a tangente e a identidade fundamental.
  • A tangente de um ângulo  é igual à razão entre o seno de  e o cosseno de Â, desde que cos não seja nulo.
  • A identidade fundamental da trigonometria determina que a soma entre o quadrado do seno de um ângulo  e o quadrado do cosseno de  é 1.
  • Outros exemplos de identidades trigonométricas são as funções secante, cossecante e cotangente.

Quais são as identidades trigonométricas?

As identidades trigonométricas são igualdades que associam funções trigonométricas. As principais são a tangente (tan) e a identidade fundamental da trigonometria:

  • Tangente: a tangente de um ângulo θ é igual à razão entre o seno de θ e o cosseno de θ, em que cos θ≠0:

\(tan\ \theta=\frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\)

  • Identidade fundamental da trigonometria: também conhecida como identidade de Pitágoras, estabelece uma relação entre o seno e o cosseno de um ângulo θ. De acordo com essa identidade, a soma entre \(\left(sen\ \theta\right)^2 e \left(cos\ \theta\right)^2\) é igual a 1. Escrevendo \(\left(sen\ \theta\right)^2=sen^2\ \theta\) e \(\left(cos\ \theta\right)^2=cos^2\ \theta\), temos que:

\(sen^2\ \theta\ +\ cos^2\ \theta\ =1\)

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Como aplicar as identidades trigonométricas?

Podemos aplicar as identidades trigonométricas quando, para certo ângulo θ, desconhecemos o valor de uma das funções.

  • Exemplo 1

Utilizando as aproximações sen 40°0,643 e cos 40°0,766, determine o valor de tan 40° com três casas decimais.

Resolução:

Utilizando a identidade trigonométrica da tangente:

\(tan\ 40°=\frac{sen 40°}{cos 40°}\)

\(tan\ 40°=\frac{0,643}{0,766}\)

\(tan\ 40°=0,839\)

  • Exemplo 2

Se θ é um ângulo do segundo quadrante e sen θ≈0,956, encontre o valor de cos θ com três casas decimais.

Resolução:

Utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

\(sen^2\ \theta+cos^2\ \theta=1\)

\(\left(0,956\right)^2+cos^2\theta=1\)

\(0,913936+cos^2\theta=1\)

\(cos^2\theta=0,086064\)

\(cos\ \theta=\pm\sqrt{0,086064}\)

Como θ é um ângulo do segundo quadrante, então o valor do cos θ é negativo, portanto:

\(cos\ \theta=-\ \sqrt{0,086064}\)

\(cos\ \theta=-0,293\)

Demonstrações das identidades trigonométricas

→ Demonstração da tangente

A demonstração da identidade trigonométrica \(tan\ \theta=\frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\) segue da definição de tangente na circunferência trigonométrica de raio 1.

Representação de uma circunferência trigonométrica de raio 1 para demonstrações das identidades trigonométricas.

Observe que as coordenadas de P são x=cos θ e y=sen θ. Por definição, \(tan\ \theta=\frac{y}{x}\), assim:

\(tan\ \theta=\frac{sen\ \theta}{cos\ \theta}\)

→ Demonstração da identidade fundamental da trigonometria

A demonstração da identidade trigonométrica sen2 θ + cos2 θ = 1 também se baseia na circunferência trigonométrica. Na imagem anterior, observe que o triângulo ABP é retângulo em B e que AB=cos θ, BP=sen θ e AP=1. Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, concluímos que:

\(sen^2\ \theta+cos^2\ \theta=1\)

Outras identidades trigonométricas

As funções secante (sec), cossecante (cossec ) e cotangente (cotan) também são exemplos de identidades trigonométricas:

\(sec\ \theta=\frac{1}{cos\ \theta}\)

\(cossec\ \theta=\frac{1}{sen\ \theta}\)

\(cotan\ \theta=\frac{1}{tan\ \theta}=\frac{cos\ \theta}{sen\ \theta}\)

Associando essas funções com a identidade de Pitágoras, podemos construir outras identidades trigonométricas:

\(sec^2\theta=1+tan^2\ \theta\)

\(cossec^2\theta=1+cotan^2\ \theta\)

Saiba mais: Aplicações trigonométricas na Física

Exercícios resolvidos sobre identidades trigonométricas

Questão 1

Considere que cos θ≠1. Assim, a expressão \(\frac{sen^2\ \theta}{1-cos\ \theta}\) é igual a qual alternativa?

A) cos θ

B) 1 + cos θ

C) sen θ

D) 1 + sen θ

E) tan θ

Resolução

Alternativa B

Reescrevendo a identidade trigonométrica fundamental, temos que \(sen^2\theta=1-cos^2\theta\). Assim:

\(\frac{sen^2\theta}{1-cos\ \theta}=\frac{1-cos^2\theta}{1-cos\ \theta}\)

Como \(1=1^2\), podemos reescrever o numerador:

\(1-cos^2\theta=1^2-cos^2\theta=\left(1-cos\ \theta\right).\left(1+cos\ \theta\right)\)

Portanto:

\(\frac{1-cos^2\ \theta}{1-cos\ \theta}=\frac{\left(1-cos\ \theta\right).\left(1+cos\ \theta\right)}{\left(1-cos\ \theta\right)}\ =\ 1\ +\ cos\ \theta\)

Questão 2

Se sen θ≠0 e cos θ≠0, determine o valor de a=sec θ ∙ cos θ + cossec θ ∙ sen θ.

Resolução

Substituindo sec \(\theta=\frac{1}{cos\ \theta} \) e cossec \(\theta=\frac{1}{sen\ \theta}\) na expressão de a, temos que:

\(a=\ \frac{1}{cos\ \theta}\cdot cos\ \theta+\ \frac{1}{sen\ \theta}\cdot seno\ \theta=1+1=2\)

Logo, a=2

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Identidades trigonométricas"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/identidades-trigonometricas.htm. Acesso em 27 de maio de 2024.

De estudante para estudante


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