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Ponto Médio de um Segmento de Reta

Matemática

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O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

xA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10

xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6

yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8).


Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

xM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Geometria Analítica - Matemática - Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro Da. "Ponto Médio de um Segmento de Reta "; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm>. Acesso em 31 de julho de 2016.

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