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Posição relativa entre reta e plano

Matemática

A posição relativa entre reta e plano é o modo como essas figuras interagem no espaço: podem ter nenhum, um ou todos os pontos em comum.
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A posição relativa entre duas figuras é o estudo das possibilidades de relação entre figuras geométricas dentro de um espaço dado. Não é necessário que esse espaço seja tridimensional. Na geometria plana, todas as figuras geométricas pertencem a um espaço que costumamos chamar de plano.

Ao observar o plano como um objeto pertencente ao espaço, esse espaço deve ter, no mínimo, uma dimensão a mais que o plano. Assim, como o plano é um objeto que possui duas dimensões, a análise das posições relativas entre outro objeto qualquer desse plano deverá ser feita, no mínimo, no espaço tridimensional.

Uma reta qualquer possui três possibilidades de interação com o plano. Essas possibilidades são conhecidas como posições relativas entre uma reta e um plano e estão listadas a seguir:

Reta contida no plano

Dizemos que uma reta está contida no plano quando todos os seus pontos também são pontos do plano. Também é possível dizer que o plano contém a reta. A linguagem é a mesma utilizada para conjuntos numéricos.

O que garante que uma reta esteja contida no plano é o postulado da inclusão, que afirma o seguinte: Se um plano contém dois pontos de uma reta, então toda a reta está contida nesse plano. Esse fato não pode ser provado, mas deve ser aceito como verdadeiro, pois ele compõe as bases da Geometria. Por isso, é chamado de postulado ou axioma.

Reta r pertencente (contida) ao plano α
Reta r pertencente (contida) ao plano α

Reta e plano concorrentes

Também chamada de secante, essa posição refere-se a uma reta e um plano que possuem um único ponto em comum. Esse fato é garantido pelo postulado da existência, que diz: Existem infinitos pontos contidos em um plano e também fora dele. Como esse postulado garante a existência de pelo menos um ponto no plano e um fora dele, por meio do postulado da determinação, podemos dizer que: dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles, assim, provamos a existência de uma reta que possui apenas um ponto comum ao plano.

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Reta r concorrente (ou secante) ao plano α
Reta r concorrente (ou secante) ao plano α

Uma reta secante a um plano pelo ponto A e que forma um ângulo de 90° com qualquer reta pertencente a esse plano que contenha o ponto A é chamada de reta perpendicular (ou ortogonal) ao plano.

Reta e plano paralelos

Reta e plano são paralelos quando eles não possuem nenhum ponto em comum.

Reta r paralela ao plano α
Reta r paralela ao plano α

Tendo em mente o quinto postulado de Euclides (dada uma reta e um ponto não pertencente a ela, pelo ponto passa uma única reta paralela à reta dada), é possível concluir a seguinte propriedade de paralelismo entre reta e plano: Se uma reta r não pertence nem é concorrente ao plano α, mas é paralela a uma reta s contida nesse plano, então a reta r é paralela ao plano α.

A reta r é paralela à reta s, que pertence ao plano α, logo, r é paralela a α
A reta r é paralela à reta s, que pertence ao plano α, logo, r é paralela a α


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Retas podem pertencer a planos, serem secantes ou paralelas a eles
Retas podem pertencer a planos, serem secantes ou paralelas a eles

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Posição relativa entre reta e plano"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-reta-plano.htm. Acesso em 16 de dezembro de 2019.

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Lista de Exercícios
Questão 1

A respeito das posições relativas entre reta e plano, assinale a alternativa correta:

a) Dadas duas retas coincidentes r e s. Se a reta r estiver contida em um plano qualquer, não poderemos garantir que a reta s também estará contida nesse mesmo plano.

b) Dada a reta r e o ponto A, fora da reta r. Pelo ponto A, sabemos que passa a reta s, paralela à reta r. Supondo-se que a reta r está contida em um plano qualquer, podemos afirmar, com certeza, que a reta s não possui nenhum ponto em comum com esse plano.

c) Uma reta está contida em um plano quando possui apenas dois pontos em comum com ele. Nenhum ponto a mais, nenhum ponto a menos.

d) Uma reta está contida em um plano quando possui apenas um ponto em comum com ele.

e) Uma reta está contida em um plano quando essas duas figuras não possuem pontos em comum.

Questão 2

A respeito das posições relativas entre retas e planos, assinale a alternativa que for correta:

a) Existe apenas um ponto fora de um plano que pertence a uma reta concorrente a ele.

b) Reta secante e reta concorrente a um plano são definições distintas e não podem ser usadas para os mesmos casos.

c) Uma reta r, secante a um plano A, é paralela a uma reta s. A reta s toca o plano A em apenas um ponto.

d) Uma reta r, secante a um plano A e perpendicular a ele, é perpendicular a uma reta s pelo ponto B, fora do plano A. A reta s está contida no plano.

e) Uma reta secante a um plano é aquela que possui dois pontos em comum com ele.

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