O que são produtos notáveis?

Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Quadrado da soma

Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os do tipo:

(x + a)(x + a)

O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência desse produto é a seguinte:

(x + a)²

A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir:

(x + a)² = x² + 2xa + a²

Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da seguinte maneira:

(x + a)² = (x + a)(x + a) = x² + xa + ax + a² = x² + 2xa + a²

O resultado final desse produto notável pode ser usado como fórmula para qualquer hipótese em que houver uma soma elevada ao quadrado. Geralmente, esse resultado é ensinado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo

Exemplo:

(x + 7)² = x² + 2x7 + 49 = x² + 14x + 49

Observe que esse resultado é obtido pela aplicação da propriedade distributiva em (x + 7)². Portanto, a fórmula é obtida a partir da propriedade distributiva sobre (x + a)(x + a).

Quadrado da diferença

O quadrado da diferença é o seguinte:

(x – a)(x – a)

Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da notação de potências:

(x – a)²

O seu resultado é o seguinte:

(x – a)² = x² – 2xa + a²

Perceba que a única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio.

Geralmente, esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

Produto da soma pela diferença

É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma subtração. Exemplo:

(x + a)(x – a)

Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a técnica do quadrado da soma:

(x + a)(x – a) = x² – a²

Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4).

(xy + 4)(xy – 4) = (xy)² – 16²

Esse produto notável é ensinado da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Cubo da soma

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para produtos com o seguinte formato:

(x + a)(x + a)(x + a)

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira:

(x + a)³

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado, encontraremos o seguinte para esse produto notável:

(x + a)³ = x³ + 3x²a + 3xa² + a³

Assim, em vez de fazer um cálculo extenso e cansativo, podemos calcular (x + 5)³, por exemplo, facilmente da seguinte maneira:

(x + 5)³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5³ = x³ + 15x² + 75x + 125

Cubo da diferença

O cubo da diferença é o produto entre os seguintes polinômios:

(x – a)(x – a)(x – a)

Por meio da propriedade distributiva e simplificando os resultados, encontraremos o seguinte resultado para esse produto:

(x – a)³ = x³ – 3x²a + 3xa² – a³

Vamos calcular como exemplo o seguinte cubo da diferença:

(x – 2y)³

(x – 2y)³ = x³ – 3x²2y + 3x(2y)² – (2y)³ = x³ – 3x²2y + 3x4y² – 8y³ = x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática