Algumas multiplicações envolvendo expressões algébricas revelam certos padrões matemáticos em suas resoluções. Essas expressões são conhecidas como produtos notáveis, que se dividem em quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Desses, destacaremos a nossa atenção para o quadrado da diferença e seu desenvolvimento.
As expressões que possuem a forma (a – b)2 podem ser resolvidas de duas formas distintas: aplicando a propriedade distributiva da multiplicação ou a regra prática.
Utilizando a propriedade distributiva na expressão (a – b)2.
Pela definição de potenciação sabemos que (a – b)2 pode ser escrito na forma
(a – b)* (a – b).
(a – b)* (a – b) = a*a – a*b – b*a + b*b = a² – 2ab + b²
(x – 4)² = (x – 4) * (x – 4) = x*x – 4*x – 4*x + 4*4 = x² – 8x + 16
(2y – 5)² = (2y – 5) * (2y – 5) = 2y*2y – 2y*5 – 5*2y + 5*5 = 4y² – 20y + 25
(5a – 2b)² = (5a – 2b) * (5a – 2b) = 5a*5a – 5a*2b – 2b*5a + 2b*2b = 25a² – 20ab + 4b²
Utilizando a regra prática na expressão (a – b)2.
“O quadrado do primeiro termo menos, duas vezes o primeiro termo vezes o segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.”
(y – 6)² = (y)² – 2*y*6 + (6)² = y² – 12y + 36
(4b – 9)² = (4b)² – 2*4b*9 + (9)² = 16b² – 72b + 81
(7y – 6x)² = (7y)² – 2*7y*6x + (6x)² = 49y² – 84xy + 36x²
(10x – 2z)² = (10x)² – 2*10x*2z + (2z)² = 100x² – 40xz + 4z²
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
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Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Quadrado da diferença"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/quadrado-diferenca.htm. Acesso em 24 de setembro de 2020.
O quadrado da diferença é um produto notável em que uma subtração entre dois números negativos é elevada ao quadrado. Um exemplo de quadrado da diferença, o seu resultado e um método para encontrá-lo rapidamente são, respectivamente:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. O quadrado da primeira parcela somado ao produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda e somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
b) (2a – 4b)2 = 4a2 + 16ab + 16b2. O quadrado da primeira parcela somado ao produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda e somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
c) (2a – 4b)2 = 4a2 + 16ab – 16b2. O quadrado da primeira parcela somado ao produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda menos o quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
d) (2a – 4b)2 = 4a2 – 16ab + 16b2. O quadrado da primeira parcela menos o produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
e) a2 – b2 = a2 – 2ab + b2. O quadrado da primeira parcela menos o produto entre duas vezes a primeira parcela e a segunda somado ao quadrado da segunda parcela é igual ao quadrado da diferença.
(IBMEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) À diferença dos quadrados dos dois números.
b) À soma dos quadrados dos dois números.
c) À diferença dos dois números.
d) Ao dobro do produto dos números.
e) Ao quádruplo do produto dos números.
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