Produto da soma pela diferença

Uma situação interessante envolvendo expressões algébricas se apresenta na seguinte forma:
(a + b)(a – b), sendo denominada Produto da Soma pela Diferença, podendo ser resolvida através da propriedade distributiva da multiplicação ou através de uma regra prática. Essa expressão pode ser considerada um produto notável, pela característica regular apresentada na resolução de situações semelhantes.

Aplicando a propriedade distributiva na resolução da expressão (a + b)(a – b).

(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b²
Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam.

(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16

(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36

(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x⁶ – 144

(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x²

Aplicando a regra prática

A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado”

(4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49

(12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64

(11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x⁴ – 25x²

(20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 400b² – 900
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática