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Produto da soma pela diferença

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Uma situação interessante envolvendo expressões algébricas se apresenta na seguinte forma:
(a + b)(a – b), sendo denominada Produto da Soma pela Diferença, podendo ser resolvida através da propriedade distributiva da multiplicação ou através de uma regra prática. Essa expressão pode ser considerada um produto notável, pela característica regular apresentada na resolução de situações semelhantes.

Aplicando a propriedade distributiva na resolução da expressão (a + b)(a – b).

(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b²
Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam.

(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16

(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36

(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x6 – 144

(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x²

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Aplicando a regra prática

A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado”

(4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49

(12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64

(11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x4 – 25x²

(20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 400b² – 900
 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Marcos Noé Pedro da Silva Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Produto da soma pela diferença"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-soma-pela-diferenca.htm. Acesso em 17 de abril de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

(TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: - O número de processos que arquivei é igual a (12,25)2 – (10,25)2. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

a) 38 < x < 42

b) x > 42

c) x < 20

d) 20 < x < 30

e) 30 < x < 38

Exercício 2

Aplique o produto da soma pela diferença de dois termos em todas as alternativas a seguir. Obtenha a solução na forma a2 – b2.

a) (9 + 2a) . (9 – 2a)

b) (xz + x 2) . (xz – x 2)
             4              4

c) (b + 11) . (b – 11)