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Cubo da soma e Cubo da diferença

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As técnicas resolutivas de produtos notáveis são de grande importância na resolução de expressões onde o expoente possui valor numérico igual a 3. As expressões (a + b)³ e (a – b)³ podem ser resolvidas pelo método da distribuição ou pelo método da resolução prática. Demonstraremos as duas situações, deixando a critério do estudante optar pela melhor forma de resolução.

Cubo da Soma

Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja:

(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3)
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 =
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27

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Regra Prática

“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”

(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27

(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8


Cubo da Diferença

O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo.

Regra prática

“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.”

(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27

(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8

 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Marcos Noé Pedro da Silva Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Cubo da soma e Cubo da diferença"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/cubo-soma-cubo-diferenca.htm. Acesso em 14 de dezembro de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

Qual das alternativas abaixo é o resultado da soma entre (x + a)3 e (x – a)3?

a) 2x3 + 6xa2

b) x3 – 3x2a + 3xa2 – a3

c) x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

d) 2x3 + 3xa2 – 2x3 – 3xa2

e) 4x3 + 6xa2

Exercício 2

Qual é o resultado da soma entre 3x2a – 3xa2 e o produto notável (x – a)3?

a) a3

b) – a3

c) x3

d) x3 – a3

e) x3 – 3x2a