O que são números reais?

Números reais é o nome dado ao conjunto numérico mais conhecido e utilizado por todos, pois qualquer número inteiro ou decimal pertence também a esse conjunto. Sua definição mais utilizada é a seguinte: A união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais.

Alguns exemplos de números reais:
 

1 – O conjunto dos números naturais. Todo número natural é também um número real, pois os números naturais são também números racionais.

2 – O conjunto dos números inteiros. Todo número inteiro é também um número real, pois os números inteiros são também números racionais.

3 – Números decimais. Todo número decimal é também um número real, pois os números decimais pertencem ou ao conjunto dos números racionais ou ao conjunto dos números irracionais.

4 – Raízes. Toda raiz, quadrada ou não, é um número racional ou irracional. Logo, pertence ao conjunto dos números reais.

Propriedades dos Números Reais

O conjunto dos números reais apresenta as seguintes propriedades. Dados os números reais a, b e c:

1 – Comutatividade: a + b = b + a

2 – Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)

3 – Existência de elemento neutro da soma: a + 0 = a

4 – Existência de elemento inverso da soma: a + (– a) = 0

5 – Comutatividade: a·b = b·a

6 – Associatividade: (a·b)·c = a·(b·c)

7 – Existência de elemento neutro da multiplicação: a·1 = a

8 – Existência de elemento inverso da multiplicação: a·(– a)= 1, em que – a = 1/a

9 – Propriedade distributiva: a(b + c) = a·b + a·c

Para compreender o significado da definição “união entre o conjunto dos números racionais e irracionais”, é importante conhecer o conceito de união, bem como os elementos pertencentes a cada um desses conjuntos.

União entre conjuntos:

A união é um caso de operação entre conjuntos. Os elementos que pertencem à união entre dois conjuntos pertencem a um conjunto ou a outro. A palavra ou indica que todos os elementos de ambos os conjuntos pertencem à união entre eles, mas nenhum elemento é repetido na união.

Por exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, a união entre A e B é representada por AUB = {1, 2, 3, 4, 5} e designa os elementos que pertencem a A ou a B.

Conjunto dos números racionais:

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos em forma de fração. Existem três tipos de números que se encaixam nessa definição:

1 – números inteiros

2 – números decimais finitos

3 – dízimas periódicas

Isso ocorre porque qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração, desde que o próprio número inteiro seja o numerador e 1 seja o denominador. A partir dessa fração, é possível encontrar infinitas frações com o mesmo resultado, bastando para isso multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número.

Já os decimais finitos podem ser transformados em fração ao cumprir o passo anterior e multiplicar a fração por alguma potência de 10, em que o expoente é igual ao número de casas decimais do decimal finito.

As dízimas periódicas, por sua vez, podem ser escritas na forma de fração utilizando-se um artifício que envolve equações e sistemas de equações.

São subconjuntos do conjunto dos números racionais: O conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros. Portanto, números naturais e inteiros também são números reais.

Conjunto dos números irracionais:

O conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos racionais. Isso significa que os números irracionais são o conjunto dos números que não são racionais. Dessa maneira, qualquer número que não pode ser escrito na forma de fração é um número irracional. Os números que se encaixam nessa definição são:

1 – decimais infinitos não periódicos;

2 – raízes não exatas.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduada em Matemática