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Operações com conjuntos

Conjuntos são uma ideia que permeia vários campos da matemática desde seus primórdios. Nesse campo de estudo, temos algumas propriedades e importantes definições operatórias.

Representação da intersecção de conjuntos.
Representação da intersecção de conjuntos.
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A motivação para o estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto complementar.

Tópicos deste artigo

União de conjuntos

A união entre dois ou mais conjuntos será um novo conjunto constituído por elementos que pertencem a, pelo menos, um dos conjuntos em questão. Formalmente o conjunto união é dado por:

Sejam A e B dois conjuntos, a união entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

Em outras palavras, basta unir os elementos de A com os de B.

Exemplo:

a) Considere os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) A = {x | x é um número par natural} e B {y | y é um número ímpar natural}

A união de todos os pares naturais e todos os ímpares naturais resulta em todo o conjunto dos números naturais, logo, temos que:

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Intersecção de conjuntos

A intersecção entre dois ou mais conjuntos também será um novo conjunto formado por elementos que pertencem, ao mesmo tempo, a todos os conjuntos envolvidos. Formalmente temos:

Sejam A e B dois conjuntos, a intersecção entre eles é formada por elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Desse modo, devemos considerar somente os elementos que estão em ambos os conjuntos.

Exemplo

a) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e C = {0, –1, –2, –3}

A ∩ B = {2, 4, 6}

A ∩ C = { }

B ∩ C = {0}

O conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio e pode ser represento de duas formas.

Leia também: Definição de conjunto

Diferença de conjuntos

A diferença entre dois conjuntos, A e B, é dada pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

No diagrama de Venn-Euler, a diferença entre os conjuntos A e B é:

Exemplo

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} e C = { }. Vamos determinar as seguintes diferenças.

A – B = {5}

A – C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C – A = { }

Observe que, no conjunto A – B, tomamos inicialmente o conjunto A e “tiramos” os elementos do conjunto B. No conjunto A – C, tomamos o A e “tiramos” o vazio, ou seja, nenhum elemento. Por último, em C – A, tomamos o conjunto vazio e “tiramos” os elementos de A, que, por sua vez, já não estavam lá.

Leia também: Notações importantes sobre conjuntos

Conjuntos complementares

Considere os conjuntos A e B, em que o conjunto A está contido no conjunto B, isto é, todo elemento de A também é elemento de B. A diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B. Em outras palavras, o complementar é formado por todo elemento que não pertence ao conjunto A em relação ao conjunto B, em que ele está contido.

Exemplo

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

O complementar de A em relação a B é:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A).

Solução

Inicialmente determinaremos os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizaremos a união entre eles.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A – B = {a, b, c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B – A = {g, h, i}

Logo, (A – B) U (B – A) é:

{a, b, c} U {g, h, i}

{a, b, c, g, h, i}

Questão 2 – (Vunesp) Suponhamos que A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, então:

a) B = {f, g, h}

b) B = {d, e, f, g, h}

c) B = { }

d) B = {d, e}

e) B = {a, b, c, d, e}

Solução

Alternativa b.

Dispondo os elementos no diagrama de Venn-Euler, segundo o enunciado, temos:

Portanto, o conjunto B = {d, e, f, g, h}.

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Robson Luiz Escritor oficial Brasil Escola

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Operações com conjuntos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm. Acesso em 23 de fevereiro de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

Dado o conjunto A e B, temos que A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, que A – B = {1, 2, 10}, e que A ∩ B = {6, 8, 16}, assim, o conjunto B é igual a:

A) B = {1, 2, 6, 8, 10, 16}

B) B = {1, 2, 10, 16}

C) B = {6, 8, 12, 14, 16}

D) B = {12, 4, 8, 10, 12, 14}

E) B = {4, 6, 8, 12, 14, 16}

Exercício 2

Em uma escola de formação de condutores, constatou-se que todos os 34 alunos estavam tirando a primeira carteira nacional de habilitação (CNH). O professor perguntou quantos estavam ali para tirar a CNH da categoria A, e 12 estudantes levantaram a mão, posteriormente, ele perguntou quantos estavam ali para obter CNH da categoria B, e 29 levantaram a mão, sendo assim, a quantidade de candidatos que pretendem tirar somente a CNH da categoria A é:

A) 22
B) 7
C) 5
D) 19
E) 10