O que são números complexos?

Até meados do século XVI, equações como x² – 6x + 10 = 0 simplesmente eram consideradas como “sem solução”. Isso ocorria porque, de acordo com a fórmula de Bhaskara, ao resolver essa equação, o resultado encontrado seria:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
      2·1

x = 6 ± √– 4
      2

O problema encontrava-se em √– 4, que não possui solução dentro do conjunto dos números reais, ou seja, não existe um número real que, multiplicado por si mesmo, tenha como resultado √– 4, já que 2·2 = 4 e (–2)(–2) = 4.

Em 1572, Rafael Bombelli ocupava-se de resolver a equação x³ – 15x – 4 = 0 utilizando a fórmula de Cardano. Por meio dessa fórmula, conclui-se que essa equação não possui raízes reais, pois acaba sendo necessário calcular √– 121. Contudo, após poucas tentativas, é possível descobrir que 4³ – 15·4 – 4 = 0 e, portanto, que x = 4 é uma raiz dessa equação.

Considerando a existência de raízes reais não expressas pela fórmula de Cardano, Bombelli teve a ideia de supor que √– 121 teria como resultado √(– 11·11) = 11·√– 1 e isso poderia ser uma raiz “não real” para a equação estudada. Dessa forma, √– 121 faria parte de um novo tipo de número que compõe as outras raízes não encontradas dessa equação. Assim, a equação x³ – 15x – 4 = 0, que possui três raízes, teria x = 4 como raiz real e duas outras raízes pertencentes a esses novo tipo de número.

No final do século XVIII, Gauss denominou esses números como números complexos. Nessa época, os números complexos já assumiam a forma a + bi, com i = √– 1. Além disso, a e b já eram considerados pontos de um plano cartesiano, conhecido como plano de Argand-Gauss. Dessa forma, o número complexo Z = a + bi tinha como representação geométrica um ponto P (a,b) do plano cartesiano.

Portanto, a expressão “números complexos” passou a ser utilizada em referência ao conjunto numérico cujos representantes são: Z = a + bi, com i = √– 1 e com a e b pertencentes ao conjunto dos números reais. Essa representação é chamada de forma algébrica do número complexo Z.

Como os números complexos são formados por dois números reais e um deles é multiplicado por √– 1, esses números reais ganharam uma denominação especial. Considerando o número complexo Z = a + bi, a é a “parte real de Z” e b é a “parte imaginária de Z”. Matematicamente, podemos escrever, respectivamente: Re(Z) = a e Im(Z) = b.

A ideia de módulo de um número complexo é cristalizada de modo análogo à ideia de módulo de um número real. Considerando o ponto P(a,b) como representação geométrica do número complexo Z = a + bi, a distância entre o ponto P e o ponto (0,0) é dada por:

|Z| = √(a² + b²)

Uma segunda maneira de representar os números complexos é por meio da Forma polar ou trigonométrica. Essa forma utiliza o módulo de um número complexo em sua constituição. O número complexo Z, de forma algébrica Z = a + bi, pode ser representado com a forma polar por:

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

É interessante notar que o plano cartesiano é definido por duas retas ortogonais, conhecidas como eixos x e y. Sabemos que os números reais podem ser representados por uma reta, na qual são colocados todos os números racionais. Os espaços restantes são preenchidos com os números irracionais. Considerando que os números reais estão todos na reta conhecida como eixo x do plano cartesiano, todos os outros pontos pertencentes a esse plano seriam a diferença entre os números complexos e os números reais. Assim, o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática