O que são diagonais dos polígonos?

O que é?

O que são diagonais dos polígonos? São segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono.
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Os polígonos são figuras geométricas bidimensionais formadas por segmentos de reta. Entre os elementos dos polígonos, estão os vértices, lados e diagonais. As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices não consecutivos. As imagens a seguir mostram as diagonais de alguns polígonos em preto:

Observe que o número de diagonais aumenta quando aumentamos também o número de lados do polígono. O triângulo possui zero diagonais, o quadrado, duas, o pentágono, cinco, e o hexágono, nove.

Encontrar uma relação entre o número de diagonais de um polígono e seu número de lados não é tarefa fácil, já que ela parece não existir. No entanto, essa relação existe e depende do número de diagonais que partem de um único vértice do polígono.

Diagonais que partem de um único vértice

Na imagem a seguir, veja a quantidade de diagonais que partem do vértice A dos polígonos em destaque:

Diagonais partindo de um mesmo vértice

Do quadrado, parte uma diagonal do vértice A. Do pentágono, duas, e do hexágono, três diagonais. A imagem a seguir mostra as diagonais que partem do vértice A de um decágono.

Diagonais partindo de um mesmo vértice do decágono

Observe que essa figura geométrica possui dez lados e de cada vértice partem sete diagonais. Veja abaixo uma tabela que relaciona o número de lados da figura e o número de diagonais partindo de um mesmo vértice (dv):

Tabela relacionando lados e diagonais

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Note que o número de diagonais partindo de um mesmo vértice é sempre igual ao número de lados do polígono menos três unidades. Assim, se o lado do polígono for representado pela letra n, teremos:

dv = n – 3

Número total de diagonais de um polígono

O número total de diagonais (d) do polígono pode ser obtido a partir da seguinte expressão:

d = n(n – 3)
     2

Em outras palavras, o número de diagonais de um polígono sempre é o produto entre o número de lados e o número de diagonais que partem do mesmo vértice dividido por dois. Essa relação vale para todo polígono convexo, ou seja, que não possui reentrâncias.

Exemplos

1º Exemplo – Qual o número de diagonais de um polígono que possui 40 lados? Quantas diagonais partem de cada vértice desse polígono?

Solução: Não é necessário desenhar a figura para responder a questões como essas. Para encontrar o resultado da primeira pergunta, faça:

d = n(n – 3)
      2

d = 40(40 – 3)
      2

d = 40(37)
     2

d = 1480
      2

d = 740

A partir do mesmo vértice:

dv = n – 3

dv = 40 – 3

dv = 37

Portanto, são 740 diagonais no total e 37 diagonais partindo do mesmo vértice.

Exemplo – Qual o número de lados de um polígono que possui 25 diagonais partindo de cada vértice?

Solução:

dv = n – 3

25 = n – 3

n = 25 + 3

n = 28

São 28 lados.


Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Algumas das 740 diagonais de um polígono de 40 lados
Algumas das 740 diagonais de um polígono de 40 lados

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que são diagonais dos polígonos?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-diagonais-dos-poligonos.htm. Acesso em 19 de janeiro de 2021.

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