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Termo geral da PA

Matemática

O termo geral da PA é uma fórmula usada para encontrar um dos termos da progressão aritmética quando o primeiro termo, o último termo, a razão e a quantidade de termos são conhecidos.
Os números formam uma PA de razão 1
Os números formam uma PA de razão 1
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O termo geral de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para encontrar um termo qualquer de uma PA, indicado por an, quando seu primeiro termo (a1), a razão (r) e o número de termos (n) que essa PA possui são conhecidos.

A fórmula do termo geral da progressão aritmética é a seguinte:

an = a1 + (n – 1)r
 

Essa fórmula pode ser obtida a partir de uma análise dos termos da PA. Para isso, é preciso conhecer bem alguns elementos e características das progressões aritméticas, os quais serão discutidos brevemente a seguir.

Veja também: Soma dos termos de uma progressão aritmética
 

O que é uma PA?

Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo (número) é resultado da soma de seu antecessor com uma constante, chamada razão. Os termos de uma PA são indicados por índices, de modo que cada índice determina a posição de cada elemento da progressão. Veja um exemplo:
 

A = (a1, a2, a3, … an)
 

Se an – an – 1 = k para todo n, então, a sequência acima é uma progressão aritmética.

Veja também: Progressão Geométrica
 

Encontrando a fórmula do termo geral da PA

Sabendo que cada termo de uma PA é igual ao seu anterior somado a uma constante, podemos escrever os termos da PA em função do primeiro termo. Na progressão A = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … an), por exemplo, teremos:

a1 = 1

a2 = 1 + 2

a3 = 1 + 2·2

a4 = 1 + 2·3

a5 = 1 + 2·4

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a6 = 1 + 2·5

a7 = 1 + 2·6

an = 1 + 2·(n – 1)

Essa é a fórmula usada para encontrar qualquer termo, ou seja, o termo geral da PA dada como exemplo.

Sabendo que an representa um termo qualquer de uma PA, podemos tentar encontrar o termo geral de uma progressão aritmética cujos termos são desconhecidos. Para isso, considere uma PA que possui n termos. Saiba que a1 é o primeiro, an é o último e a razão é r.

Podemos escrever os termos dessa PA em função do primeiro da seguinte maneira:
 

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a1 + r + r = a1 + 2r

a4 = a1 + r + r + r = a1 + 3r

an = a1 + r + r + r … + r = a1 + r(n – 1)
 

Assim, reescrevendo a última igualdade e reorganizando os termos do último membro, teremos:
 

an = a1 + (n – 1)r
 

Essa é a fórmula do termo geral da progressão aritmética.


Exemplo

Qual é o centésimo termo da progressão aritmética a seguir:
 

(2, 4, 6, 8, …)
 

Trata-se da progressão aritmética formada por todos os números pares a partir de 2. Assim, o primeiro termo é 2, a razão é 2 e o número de termos é 100, pois queremos descobrir o centésimo termo. Veja:
 

an = a1 + (n – 1)r

a100 = 2 + (100 – 1)2

a100 = 2 + (99)2

a100 = 2 + 198

a100 = 200
 


Por Luis Paulo Silva
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Termo geral da PA"; Brasil Escola. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/termo-geral-pa.htm>. Acesso em 10 de dezembro de 2018.

Lista de Exercícios
Questão 1

(UFRGS) Em uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a posição ocupada pelo elemento – 13 é:

a) 8ª

b) 7ª

c) 6ª

d) 5ª

e) 4ª

Questão 2

(Enem) O gráfico, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:

a) 465

b) 493

c) 498

d) 538

e) 699

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