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O termo geral de uma progressão aritmética (PA) é uma fórmula usada para encontrar um termo qualquer de uma PA, indicado por an, quando seu primeiro termo (a1), a razão (r) e o número de termos (n) que essa PA possui são conhecidos.
A fórmula do termo geral da progressão aritmética é a seguinte:
an = a1 + (n – 1)r
Essa fórmula pode ser obtida a partir de uma análise dos termos da PA. Para isso, é preciso conhecer bem alguns elementos e características das progressões aritméticas, os quais serão discutidos brevemente a seguir.
Veja também: Soma dos termos de uma progressão aritmética
Tópicos deste artigo
O que é uma PA?
Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo (número) é resultado da soma de seu antecessor com uma constante, chamada razão. Os termos de uma PA são indicados por índices, de modo que cada índice determina a posição de cada elemento da progressão. Veja um exemplo:
A = (a1, a2, a3, … an)
Se an – an – 1 = k para todo n, então, a sequência acima é uma progressão aritmética.
Veja também: Progressão Geométrica
Encontrando a fórmula do termo geral da PA
Sabendo que cada termo de uma PA é igual ao seu anterior somado a uma constante, podemos escrever os termos da PA em função do primeiro termo. Na progressão A = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … an), por exemplo, teremos:
a1 = 1
a2 = 1 + 2
a3 = 1 + 2·2
a4 = 1 + 2·3
a5 = 1 + 2·4
a6 = 1 + 2·5
a7 = 1 + 2·6
…
an = 1 + 2·(n – 1)
Essa é a fórmula usada para encontrar qualquer termo, ou seja, o termo geral da PA dada como exemplo.
Sabendo que an representa um termo qualquer de uma PA, podemos tentar encontrar o termo geral de uma progressão aritmética cujos termos são desconhecidos. Para isso, considere uma PA que possui n termos. Saiba que a1 é o primeiro, an é o último e a razão é r.
Podemos escrever os termos dessa PA em função do primeiro da seguinte maneira:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a1 + r + r + r = a1 + 3r
…
an = a1 + r + r + r … + r = a1 + r(n – 1)
Assim, reescrevendo a última igualdade e reorganizando os termos do último membro, teremos:
an = a1 + (n – 1)r
Essa é a fórmula do termo geral da progressão aritmética.
Exemplo
Qual é o centésimo termo da progressão aritmética a seguir:
(2, 4, 6, 8, …)
Trata-se da progressão aritmética formada por todos os números pares a partir de 2. Assim, o primeiro termo é 2, a razão é 2 e o número de termos é 100, pois queremos descobrir o centésimo termo. Veja:
an = a1 + (n – 1)r
a100 = 2 + (100 – 1)2
a100 = 2 + (99)2
a100 = 2 + 198
a100 = 200
Por Luis Paulo Silva
Graduado em Matemática