Propriedades operatórias dos logaritmos

As propriedades operatórias dos logaritmos auxiliam na resolução de cálculos envolvendo logaritmos. São úteis para transformar o logaritmo de um produto em uma soma de logaritmos; transformar o logaritmo de um quociente em uma diferença entre logaritmos; e transformar o logaritmo de uma potência no produto de um número pelo logaritmo; além de que também existe a propriedade da mudança de base.

Saiba mais: Propriedades das potências — quais são elas?

Tópicos deste artigo

• 1 - Quais são as propriedades operatórias dos logaritmos?
• 2 - Exercícios resolvidos sobre propriedades operatórias dos logaritmos

Quais são as propriedades operatórias dos logaritmos?

As propriedades operatórias dos logaritmos são relações que nos auxiliam a resolver situações envolvendo operações com logaritmo. São conhecidas quatro propriedades operatórias. Veremos cada uma delas a seguir, considerando a e c como números reais positivos.

• 1ª propriedade operatória dos logaritmos: logaritmo de um produto

\(log_b\left(a\cdot c\right)=log_ba+log_bc\)

Quando queremos calcular o logaritmo de um produto, podemos realizar a soma do logaritmo de cada um dos fatores da multiplicação, utilizando a mesma base b do logaritmo.

Exemplo:

Seja log2 = 0,3 e log3 = 0,5, calcule o valor de log12.

Resolução:

Queremos encontrar o valor de log12.

Mas sabemos que:

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3

Logo temos que:

log12 = log(2 ∙ 2 ∙ 3)

Pela propriedade operatória do logaritmo de um produto, temos que:

log12 = log2 + log2 + log3

Como conhecemos o valor de log2 e de log3, substituiremos os valores:

log12 = 0,3 + 0,3 + 0,5

log12 = 1,1

• 2ª propriedade operatória dos logaritmos: logaritmo do quociente

\(log_b\left(\frac{a}{c}\right)=log_ba-log_bc\)

Quando queremos calcular o logaritmo de um quociente, podemos executar uma subtração entre o logaritmo na base b do dividendo e o logaritmo na base b do divisor.

Exemplo:

Seja log4 = 0,6, então calcule o valor de log25.

Resolução:

Como a base é 10, podemos reescrever o 25 de forma conveniente, como \(\frac{100}{4}\). Então temos que:

\(log25 = log \frac{100}{4}\)

Pela propriedade operatória do logaritmo do quociente, temos que:

\(log25 = log100 – log4\)

Sabemos que log100 = 2, logo, 10² = 100, e também conhecemos o valor de log4, substituindo esses valores, temos que:

\(log25 = 2 – 0,6\)

\(log25 = 1,4\)

• 3ª propriedade operatória dos logaritmos: logaritmo de uma potência

\(log_ba^n=n\cdot log_ba\)

Quando queremos calcular o logaritmo de uma potência, podemos utilizar essa propriedade, pois o logaritmo de a elevado a n na base b é igual a n vezes o logaritmo de a na base b.

Exemplo:

Calcule o valor de log216 sabendo que log6 = 0,78.

Resolução:

Sabemos que 216 = 6³, logo:

log216 = log6³

Utilizando a propriedade operatória do logaritmo de uma potência, temos que:

log216 = 3 ∙ log6

Como conhecemos o valor do log6, substituindo temos que:

log216 = 3 ∙ 0,78

log216 = 2,34

• 4ª propriedade operatória dos logaritmos: mudança de base

\(log_ba=\frac{log_na}{log_nb}\)

Note que primeiro tínhamos logaritmo de a na base b, pela mudança de base, podemos reescrever esse logaritmo como o quociente entre logaritmo de a na base n e o logaritmo de b na base n.

Exemplo:

Calcule o valor de log₄32.

Resolução:

Sabemos que 32 não pode ser escrito como uma potência de base 4, com o expoente inteiro. Então aplicaremos uma mudança de base, para a base 2, pois, tanto o 32 quanto o 4 podem ser reescritos como uma potência de base 2:

\(log_432=\frac{log_232}{log_24}\)

Pela definição de logaritmo, sabemos que:

\(log_232=x\)

\(2^x=32\)

\(2^x=2^5\)

\(x\ =\ 5\)

Também temos que:

\(log_24=y\)

\(2^y=4\)

\(2^y=2^2\)

\(y=2\)

Assim, temos que:

\(log_432=\frac{5}{2}\)

Saiba também: Propriedades envolvendo números complexos — quais são elas?

Exercícios resolvidos sobre propriedades operatórias dos logaritmos

Questão 1

(Enem) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M_W), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_W e M₀ se relacionam pela fórmula:

\(M_W=-10,7+\frac{2}{3}log_{10}\left(M_0\right)\)

Em que M₀ é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_W = 7,3.

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀?

A) 10^-5,10

B) 10^-0,73

C) 10^12,00

D) 10^21,65

E) 10^27,00

Resolução:

Alternativa E

Sabemos que

M_w = 7,3

Substituindo na equação, temos que:

\(7,3\ +\ 10,7=\frac{2}{3}log\left(M_0\right)\)

\(18=\frac{2}{3}log\left(M_0\right)\)

\(18\cdot\frac{3}{2}=log\left(M_0\right)\)

\(27=log\left(M_0\right)\)

Então:

\(M_0={10}^{27}\)

Questão 2

(Enem) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 ℃ e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log₁₀ 3 e 1,041 como aproximação para log₁₀ 11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ℃ é mais próximo de

A) 22

B) 50

C) 100

D) 200

E) 400

Resolução:

Alternativa D

A temperatura inicial é de 3000 ºC, e, a cada ciclo de tempo t (30 minutos), ela perde 1% da sua temperatura, logo, para encontrar a nova temperatura, multiplicaremos 3000 por 99% a cada intervalo t. Então podemos escrever a temperatura em função do tempo, lembrando que t são ciclos de 30 minutos.

\(T(x) = 3000 ∙ 0,99t\)

Faremos T(x) = 30

\(30=3000\bullet{0,99}^t\)

\(\frac{30}{3000}={0,99}^t\)

\(0,01={0,99}^t\)

Aplicando logaritmo dos dois lados:

\(log\left(0,01\right)=log\left({0,99}^t\right)\)

\(-2=t\cdot log0,99\)

\(-2=t\cdot log\frac{99}{100}\)

\(-2=t\cdot[log99\ -\ log\ 100] \)

\(-2\ =\ t\ \cdot[log\ 99\ – 2]\)

\(-2=t\cdot\left[log3^2\cdot11-2\right]\)

\(-2=t\cdot\left[log3^2+log11-2\right]\)

\(-2=t\cdot\left[2log3+log11-2\right]\)

\(-2=t\cdot\left[2\cdot0,477+1,041-2\right]\)

\(-2=t\cdot\left[-0,005\right]\)

\(t=\frac{-2}{-0,005}\)

\(t=400\ \)

Lembrando que t são intervalos de 30 minutos, então o tempo será de 200 horas.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática