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Os logaritmos decimais, isto é, na base 10, possuem características em comum. Observe a possível localização dos números em relação às potências de base 10:
100 < 2,56 < 101
101 < 32,5 < 102
102 < 600,37 < 103
Podemos definir a situação acima da seguinte forma: 10 c ≤ x < 10 c + 1. Para todo número real positivo x existe um número inteiro c. Partindo dessa ideia, podemos estabelecer que:
10 c ≤ x < 10 c + 1
log 10 c ≤ log x < log 10 c + 1
c * log 10 ≤ log x < c + 1 * log 10
c ≤ log x < c + 1
log x = c + m, onde 0 ≤ m < 1.
Concluímos que o logaritmo decimal de um número x é a soma de um número inteiro c com um decimal m menor que 1, em que o decimal m é denominado mantissa. Observe:
log 620
10² < 620 < 10³ → log10² < log 620 < log10³ → 2 * log 10 < log 620 < 3 * log 10
2 < log 620 < 3, dessa forma temos que a parte inteira do logaritmo do número será igual a 2.
Para comprovarmos essa propriedade basta utilizarmos uma calculadora científica, através da tecla log. Digite o número, no caso 620 e aperte a tecla log, observe que teremos como resultado o número decimal 2,792391..., que é composto pela parte inteira igual a 2 e decimal 0,7922391... (mantissa).
Na determinação do log 0,0879 temos que:
10–2 < log 0,0879 < 10 –1 → log 10 –2 < log 0,0879 < log 10 –1
–2 * log 10 < log 0,0879 < –1 * log 10 → –2 < log 0,0879 < –1
A parte inteira do logaritmo do número será igual a –1.
Utilizando a calculadora temos:
log 0,0879 → –1,0560
Outra opção na determinação da característica do logaritmo de um numeral é relacionada a duas situações: x > 1 e 0 < x < 1.
Situação: x > 1
Quando x > 1, a característica do logaritmo é igual ao número de algarismos da parte inteira subtraído de 1.
log 1230 → 4 – 1 = 3 (característica 3)
log 125 → 3 – 1 = 2 (característica 2)
12500 → 5 – 1 = 4 (característica 4)
Situação: 0 < x < 1
Nesse caso, a característica será determinada através da simetria da quantidade de números de zeros que antecederem o primeiro algarismo significativo.
log 0,032 → característica 2
log 0,00000785 → característica 6
log 0,0025 → característica 3
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola