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As propriedades da multiplicação podem ser encontradas nos conjuntos numéricos que estudamos em todo ensino primário.
Na multiplicação temos: propriedade comutativa, propriedade associativa, propriedade distributiva, elemento neutro e elemento inverso.
Tópicos deste artigo
Conceito e propriedades da multiplicação
Sabemos que a multiplicação é nada mais que a realização de somas sucessivas, por exemplo, quando multiplicamos 3 · 5 é o mesmo que somar 3 por si mesmo cinco vezes ou 5 por si mesmo três vezes, veja:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
5 + 5 + 5 = 15
Dessa forma, 3 · 5 = 15, mas veja que realizar esse processo nem sempre é o melhor caminho, experimente calcular 9 · 8 utilizando esse método. Claro que não é uma tarefa impossível, somente bastante complicada. Veremos a seguir algumas propriedades que facilitam esse processo, essas propriedades são todas provenientes das propriedades da adição.
Leia também: Multiplicação de frações algébricas: como fazer?
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Propriedade comutativa da multiplicação
A multiplicação satisfaz a comutatividade, isto é, dados dois números reais, a e b, podemos multiplicá-los na ordem que bem entendermos, o resultado sempre será o mesmo. Podemos escrever tal propriedade da seguinte maneira:
a · b = b · a
Exemplo
Observe a multiplicação 5 · 4 e a multiplicação 4 · 5.
5 · 4 = 20
4 · 5 = 20
Essa propriedade é herdada da adição, uma vez que a operação de multiplicação é nada mais que somas sucessivas do mesmo número.
Cuidado: A comutatividade é valida para números reais/complexos, mas, no conjunto das matrizes, essa operação não é satisfeita, ou seja, dadas duas matrizes: A · B ≠ B · A.
Leia também: Multiplicação de matrizes: como calcular?
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Propriedade associativa da multiplicação
A propriedade associativa da multiplicação diz-nos que na multiplicação de três números podemos escolher a ordem dos produtos. De modo geral, podemos representar essa propriedade assim:
(a · b) · c = a · (b · c)
Exemplo
Observe:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30, por outro lado 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30.
Note que podemos multiplicar qualquer um dos fatores primeiro, que o resultado final ainda se mantém.
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Propriedade distributiva da multiplicação
Na multiplicação podemos distribuir o produto, isso ocorre quando vamos multiplicar um número por uma soma.
a · (b + c) = a · b + a · c
Considere a seguinte multiplicação: 3 · (5 + 4).
Por um lado, temos que:
3 · (5 + 4) =
3 · 9 =
27 =
Por outro, podemos realizar a distributividade, que consiste na multiplicação do número de fora do parêntese por cada termo da soma, logo, temos que:
3 · (5 + 4) =
3 · 5 + 3 · 4 =
15 + 12 =
27 =
Veja que:
3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4
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Elemento neutro
O elemento neutro é aquele que ao ser operado com qualquer outro número mantém como resultado o número com que ele foi operado. No caso da multiplicação, o elemento neutro é o número 1, ou seja:
a · 1 = a
Exemplos
a) 2 · 1 = 2
b) 309 · 1 = 309
c) –10000 · 1 = – 10000
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Elemento inverso
O elemento inverso na multiplicação é aquele que quando multiplicado por um número resulta em 1. O elemento inverso de um número a é dado por:
Assim, o inverso de um número qualquer é sempre a fração um sobre o número.
Exemplos
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Determine o valor de x na expressão x (2 – x) = 0
Solução
Para determinar o valor de x na expressão, temos que utilizar a propriedade distributiva da multiplicação, assim:
x (2 – x) = 0
2x – x2 = 0
Questão 2 – Sabe-se que o inverso de um número é igual à oitava parte desse número acrescida por um quarto. Determine esse número.
Solução
Como desconhecemos o número, vamos nomeá-lo y. Pelo enunciado, o inverso é igual à oitava parte desse número y somada por um quarto, logo, temos a seguinte igualdade:
Resolvendo a igualdade anterior, temos:
Por Robson Luiz
Professor de Matemática
