A multiplicação de polinômios é uma operação entre expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras). Diferentemente da adição e subtração de polinômios, em que a operação é realizada apenas entre os coeficientes dos termos semelhantes, a multiplicação ocorre também entre as partes literais. A propriedade distributiva é fundamental na operação de multiplicação entre polinômios, pois cada termo de um polinômio deve ser operado com cada termo do outro polinômio.
Leia também: Como fazer a divisão de polinômios?
\(a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c\)
\(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\)
Para multiplicar polinômios (expressão algébrica formada por monômios), devemos aplicar a propriedade distributiva em cada termo envolvido. Na prática, esse processo consiste em multiplicações entre monômios. Dessa forma, é essencial dominar os seguintes conceitos:
\(\left(+\right)\cdot\left(+\right)=\left(+\right)\)
\(\left(-\right)\cdot\left(-\right)=\left(+\right)\)
\(\left(+\right)\cdot\left(-\right)=\left(-\right)\)
\(\left(-\right)\cdot\left(+\right)=\left(-\right)\)
\(a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c\)
\(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\)
Importante: Neste texto utilizamos potências de x para indicar a parte literal dos polinômios, mas um polinômio pode apresentar outras letras na parte literal.
Na multiplicação entre polinômio e um número real, devemos empregar a propriedade distributiva entre o número real e cada um dos termos do polinômio (ou seja, cada monômio). Da multiplicação de um número b com um monômio \(ax^k\), temos que \(b\cdot ax^k=\left(b\cdot a\right)x^k\), ou seja, basta multiplicar o número real pelo coeficiente do monômio.
2⋅(x 2+ 4x -1) = 2⋅ x2 + 2⋅ 4x +2 ⋅ (-1) = 2x2 + 8x -2
(5x3+8x2) ⋅ (-6) = 5x3 ⋅ (-6) + 8x2 ⋅ (-6) = -30x3 - 48x2
Na multiplicação entre monômio e polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva entre o monômio e cada um dos termos do polinômio. Nesse caso precisamos considerar a multiplicação entre as partes literais. Caso as potências de x multiplicadas possuam a mesma base, o resultado deve manter a base e somar os expoentes.
7x ⋅ (-x2 -3) = 7x ⋅ (-x2) + 7x ⋅ (-3)= -7x3 - 21x
(4x3 + 9x 2 -x + 1) ⋅ (x2) = 4x3 ⋅ x2 + 9x2 ⋅ x2 + (-x) ⋅ x2 + 1 ⋅ x2
= 4x5 + 9x4 - x3 + x2
Multiplicação de polinômio por polinômio
Na multiplicação de polinômio por polinômio, devemos empregar a propriedade distributiva multiplicando cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio. Note que é o mesmo sistema utilizado na multiplicação entre monômio e polinômio.
(x4+10) ⋅ (2x3+x) = x4 ⋅ (2x3+x) + 10⋅ (2x3+x)
=x4 ⋅ 2x3 + x4 ⋅ x + 10⋅2x3 + 10 ⋅ x
=2x7 + x5 + 20x3 + 10x
Veja também: Equação polinomial — a equação caracterizada por ter um polinômio igualado a zero
Questão 1
Um terreno retangular possui \(x^2+7\) de comprimento e \(4x\ -1\) de largura para determinado valor de x. A área desse terreno pode ser expressa por:
A) \( 8x-7\)
B) \( 4x+6\)
C) \( {7x}^2+4x+6\)
D) \( 4x^3+x^2+7x+28\)
E) \( 4x^3-x^2+28x-7\)
Resolução:
Alternativa E
A área de um retângulo é dada pelo produto entre o comprimento e a largura, assim:
\(A_{\mathrm{terreno}}=\left(x^2+7\right)\cdot\left(4x-1\right)=x^2\cdot\left(4x-1\right)+7\cdot\left(4x-1\right)\)
\(A_{\mathrm{terreno}}=4x^3-x^2+28x-7\)
Questão 2
Considere os polinômios \(p=3x^2+x-5 \) e \(q=2x+2\). A soma dos coeficientes do polinômio p⋅q é igual a:
A) –4
B) –8
C) –10
D) –12
E) –14
Resolução:
Alternativa A
O produto entre p e q é dado por:
\(\left(3x^2+x-5\right)\cdot\left(2x+2\right)=3x^2\cdot\left(2x+2\right)+x\cdot\left(2x+2\right)-5\cdot\left(2x+2\right)\)
\(=6x^3+6x^2+2x^2+2x-10x-10\)
\(=6x^3+8x^2-8x-10\)
A soma dos coeficientes é igual a \(6+8+\left(-8\right)+\left(-10\right)=-4\).
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática
Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomio.htm