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Radiano

Radiano é uma unidade de medida de ângulo. Em estudos trigonométricos, é mais conveniente utilizar o radiano do que o grau, mas é possível converter essas unidades.

Radiano e graus dos ângulos de uma circunferência.
O radiano, assim como o grau, é uma unidade de medida de ângulos, sendo π radianos equivalentes a 180 graus.
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Radiano é uma unidade de medida de ângulo, assim como o grau. A definição de radiano considera a medida de um ângulo central de uma circunferência e relaciona o arco determinado por esse ângulo com o raio da circunferência. A conversão de uma medida em radianos para uma medida de graus (e vice-versa) é realizada por uma regra de três. Para desenvolver essa conversão, devemos observar que π radianos é igual a 180°.

Leia também: Tudo o que você precisa saber sobre seno, cosseno e tangente

Tópicos deste artigo

Resumo sobre radiano

  • Graus e radianos são unidades de medida de ângulo.
  • Dado um ângulo central de uma circunferência, a medida em radianos desse ângulo é a razão entre o comprimento do arco que ele define e o raio da circunferência:

θ=dRrad

  • A relação entre graus e radianos é dada pela seguinte igualdade:

180°=πrad

  • Tanto o grau como o radiano podem ser utilizados para indicar a unidade de medida de um ângulo, e a escolha por um ou outro depende do contexto.

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O que é radiano?

O radiano é uma unidade de medida de ângulo. Para definir precisamente essa medida, utilizaremos algumas informações sobre a circunferência.

Considere uma circunferência de centro A e raio R e um arco de medida d determinado por um ângulo central θ.

Radiano de uma circunferência.

A medida em radianos de θ é a razão entre o comprimento do arco determinado por θ (ou seja, d) e o raio R da circunferência:

θ=dRradianos

Notação: Utilizamos a abreviação rad para a unidade de medida radianos.

θ=dRrad

Observação: Note que, com base nessa construção, podemos determinar o que é 1 radiano. Imagine um contexto semelhante ao anterior com d =R. Assim:

θ=RR=1rad

Portanto, 1 radiano é a medida de um ângulo central que determina um arco com comprimento R em uma circunferência de raio R.

Para que serve o radiano?

O radiano, assim como o grau, é uma unidade de medida. Em determinados contextos matemáticos e físicos, é mais vantajoso o uso do radiano para indicar as medidas de ângulos, pois permite simplificar algumas expressões.

Veja também: Qual é o valor do número pi?

Como calcular o radiano?

Vejamos um exemplo de como calcular a medida em radianos de um ângulo.

  • Exemplo: Qual a medida em radianos do ângulo central que determina um arco com 3π4 cm de comprimento em uma circunferência com 3 cm de raio?

Seja θ o ângulo que queremos medir, d=3π4 cm o comprimento do arco determinado por θ, e R=3 cm o raio da circunferência. Utilizando a expressão θ=dR, temos que:

θ=3π43

θ=3π413

θ=π4rad

Como calcular as conversões do radiano?

Vamos descobrir qual a relação entre um ângulo e o arco determinado por esse ângulo em uma circunferência. Com base nessa relação, teremos uma maneira de converter medidas em graus para medidas em radiano e vice-versa.

Uma circunferência de raio R possui comprimento igual a 2πR e o ângulo θ de uma volta completa é 360°. Isso significa que a medida em radianos de 360° graus é dada por:

θ=2πRR=2πrad

Como θ=360° e θ=2π rad, temos que:

360°=2πrad

Simplificando essa expressão, temos a igualdade mais utilizada para a conversão entre as unidades de medida de ângulos:

180°=πrad

Assim, para calcular as conversões de radianos para graus e de graus para radianos, utilizamos uma regra de três com a informação 180°=π rad.

  • Convertendo radiano para grau

Exemplo: Converta 270° para radianos.

Seja x a medida procurada. Como 180°=π rad, temos que:

180270πradx

x=270π180

x=3π2rad

  • Convertendo grau para radiano

Exemplo: Converta 3π2 rad para graus.

Seja x a medida procurada. Como 180°=π rad, temos que:

180xπrad3π2rad

x=1803π2π

x=270ππ

x=270°

Saiba mais: Como calcular o comprimento de uma circunferência

Diferenças entre radiano e grau

Um grau (1°) é a medida do ângulo que corresponde a 1360 do ângulo de uma volta completa da circunferência. O grau é uma unidade de medida de ângulo adotada com maior frequência no cotidiano. O transferidor, que é um instrumento para medir ângulos, é normalmente graduado em graus.

o radiano é uma unidade de medida utilizada em outras situações, como estudos trigonométricos, para constituir expressões mais simples.

Exercícios resolvidos sobre radiano

Questão 1

Para utilizar determinada fórmula física, um estudante deve expressar a medida de um ângulo de 225° em radianos. A medida que ele deve incluir na fórmula é:

a) 3π5

b) 3π6

c) 5π4

d) 5π6

e) 6π5

Resolução

Como 180°=π rad, temos que:

180225πradx

x=5π4rad

Alternativa C

Questão 2

(IFSP) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência, sabe-se que o comprimento de um arco AB é 5π cm.

A medida do ângulo central AÔB correspondente ao arco AB considerado é:

a) 120°

b) 150°

c) 180°

d) 210°

e) 240°

Resolução

A medida em radianos do ângulo central AOB é a razão entre o comprimento do arco BC e o raio da circunferência, ou seja:

AÔB=5π6rad

Convertendo essa medida em graus, temos:

180xπrad5π6rad

x=150°

Alternativa B

Fontes

CARMO, M. P. do; MORGADO, A. C.; WAGNER, E. Trigonometria Números Complexos. Coleção Professor de Matemática. São Paulo: SBM, 2005.

REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2 ed. Campinas: Unicamp, 2008.

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Radiano"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/o-radiano.htm. Acesso em 30 de março de 2025.

De estudante para estudante


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