Medida de um arco

Dada uma circunferência qualquer de centro O e raio r, marcamos dois pontos A e B, os quais dividem a circunferência em duas partes denominadas de arco de circunferência. Os pontos A e B são os extremos dos arcos. Caso as extremidades sejam coincidentes, temos um arco com uma volta completa. Observe a ilustração a seguir:

Podemos notar nessa circunferência a existência do arco AB e de um ângulo central representado por α. Para cada arco existente na circunferência, temos um ângulo central correspondente, ou seja: med(AÔB) = med(AB). Portanto, o comprimento de um arco depende do valor do ângulo central.

Na medição de arcos e ângulos, usamos duas unidades: o grau e o radiano.

Medidas em grau

Sabemos que uma volta completa na circunferência corresponde a 360º. Se a dividirmos em 360 arcos, teremos arcos unitários medindo 1 grau. Dessa forma, enfatizamos que a circunferência é simplesmente um arco de 360º com o ângulo central medindo uma volta completa, ou 360º. Também podemos dividir o arco de 1 grau em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1’ (arco de um minuto). Da mesma forma, podemos dividir o arco de 1’ em 60 arcos de medidas unitárias iguais a 1” (arco de um segundo).

Medidas em radianos

Dada uma circunferência de centro O e raio R, com um arco de comprimento s e α o ângulo central do arco, vamos determinar a medida do arco em radianos de acordo com a figura a seguir:

Dizemos que o arco mede um radiano se o comprimento do arco for igual à medida do raio da circunferência. Assim, para sabermos a medida de um arco em radianos, devemos calcular quantos raios da circunferência são precisos para se ter o comprimento do arco. Portanto:

Com base nessa fórmula podemos expressar outra expressão para determinar o comprimento de um arco de circunferência:

De acordo com as relações entre as medidas em grau e radiano de arcos, vamos destacar uma regra de três capaz de converter as medidas dos arcos. Veja:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28)
180º → π radiano (aproximadamente 3,14)
90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)
45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)
 

Exemplos de conversões:

a) 270º em radianos

 b) 5π/12 em graus

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola