Inequação modular

Conhecemos como inequação modular uma expressão algébrica que possui uma desigualdade (>, ≥, < ou ≤) e uma variável dentro do módulo. Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação, aplicamos a definição de módulo, logo, é comum dividirmos essa inequação em alguns casos; um deles é quando o valor que está dentro do módulo é positivo e outro é quando o valor que está dentro do módulo é negativo. Após encontrar as soluções de cada caso separadamente, a solução da inequação modular será a união das soluções de cada caso.

Leia também: Como resolver uma equação modular?

Resumo sobre inequação modular

• Inequação modular é uma expressão algébrica que possui um módulo dentro da incógnita e um sinal de desigualdade.

• Para resolver a inequação, separamos o módulo em dois casos; o primeiro é quando o valor que está dentro do módulo é positivo e o segundo é quando o valor que está dentro do módulo é negativo.

• O conjunto de soluções de uma inequação é a união das soluções de cada caso.

O que é uma inequação modular?

Para compreender o que é uma inequação modular, primeiro vamos lembrar o que é uma inequação e o que é o módulo de um número.

A inequação é uma expressão algébrica que possui um símbolo de desigualdade, ou seja: <, >, ≤ ou ≥. Já o módulo de um número n é representado por |n|, que é a distância que o número está até o zero. Então, uma inequação será conhecida como inequação modular quando ela for uma expressão que possui uma ou mais incógnitas dentro do módulo, conforme as inequações a seguir:

Exemplos:

• |x| < 3

• |x + 4| > -5

• |x – 3| ≥ 2x

• 10 ≤ |x + 4|

Perceba que há sempre uma incógnita dentro do módulo e um símbolo de desigualdade, o que faz com que as expressões sejam inequações modulares.

Resolução de uma inequação modular

Ao se deparar com uma inequação qualquer, ela sempre possuirá um conjunto de soluções em específico. Para encontrar o conjunto de soluções, é importante lembrarmos a definição de módulo:

|n| = n → se n > 0

|n| = -n → se n < 0

Vejamos, a seguir, como resolver inequações modulares.

Exemplo 1:

|x| > 2

Para resolver a inequação, vamos dividir essa inequação em dois casos:

1º caso: x > 0

Se x > 0 → |x| = x, substituindo na inequação, temos que:

x > 2

2º caso: x < 0

Se x < 0 → |x| = -x, substituindo na inequação, temos que:

-x > 2 · (-1)

x < -2

Então, temos como conjunto de soluções da inequação a união da solução do 1º e 2º casos, ou seja:

S: {x Є R | x < -2 ou x > 2}

Podemos também fazer a representação geométrica do conjunto de soluções:

Exemplo 2:

|x + 4| ≤ 9

Assim como no exemplo anterior, separaremos em dois casos:

1º caso: x + 4 > 0

Se x + 4 > 0, então, |x + 4| = x + 4, logo, teremos que:

x + 4 ≤ 9

x ≤ 9 – 4

x ≤ 5

2º caso: x + 4 < 0

Se x + 4 < 0, então, |x + 4| = – (x + 4), logo, teremos que:

– (x + 4) ≤ 9 · (-1)

x + 4 ≥ -9

x ≥ -9 – 4

x ≥ -13

S = {x Є R | -13 ≤ x ≤ 5}

Representação geométrica da solução:

Exemplo 3:

Partindo para um exemplo mais complexo, vamos resolver a inequação:

1 ≤ |x + 2| < 8

1º caso: |x + 2| > 0, então, |x + 2| = x + 2

1 ≤ |x + 2| < 8

1 ≤ x + 2 < 8

Subtraindo 2 em todos os membros, temos que:

1 – 2 ≤ x + 2 – 2 < 8 – 2

-1 ≤ x < 6

2º caso: |x + 2| < 0, então, |x + 2| = – (x + 2)

1 ≤ – (x + 2) < 8

Multiplicando por -1, temos que:

-1 ≥ x + 2 > -8

Subtraindo 2 em todos os membros, temos que:

-1 – 2 ≥ x + 2 – 2 > -8 – 2

-3 ≥ x > -10

Podemos reescrever a inequação como:

-10 < x ≤ -3

Sendo assim, o conjunto de soluções dessa inequação é:

S = {x Є R | -10 < x ≤ -3 ou -1 ≤ x < 6}

Representação geométrica da solução:

Veja também: O que é uma equação produto?

Exercícios resolvidos sobre inequação modular

Questão 1 - (EsPCEx - 2017) O conjunto solução da inequação | |x – 4| + 1 | ≤ 2 é um intervalo do tipo [a,b]. O valor de a + b é igual a:

A) -8

B) -2

C) 0

D) 2

E) 8

Resolução

Alternativa E

Analisando a inequação modular | |x – 4| + 1 | ≤ 2, para eliminar o primeiro módulo, sabemos que | x – 4| + 1 será sempre um número positivo, pois |x – 4| é positivo, e, ao somar 1, o resultado também é positivo, então, vamos eliminar o primeiro módulo:

|x – 4| + 1 ≤ 2

|x – 4| ≤ 2 -1

|x – 4| ≤ 1

Agora separaremos em dois casos. O 1º caso é: se x – 4 for maior que 0, ou seja, um número positivo, então |x – 4| = x – 4

x – 4 ≤ 1

x ≤ 1 + 4

x ≤ 5

O 2º caso é: se x – 4 for menor que 0, ou seja, um número negativo, então, |x – 4| = – (x – 4):

– (x – 4) ≤ 1 · (-1)

x – 4 ≥ -1

x ≥ -1 + 4

x ≥ 3

Então, o conjunto de soluções é o conjunto [3,5].

A soma: 3 + 5 = 8

Questão 2 - (FGV – SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades |x – 2| ≤ 3 e |3x – 2| > 5, obtemos:

A) 12

B) 60

C) -12

D) -60

E) 0

Resolução

Alternativa B

Resolveremos cada inequação separadamente:

Inequação I:

|x – 2| ≤ 3

1º caso: x – 2 > 0 → |x – 2| = x – 2

x – 2 ≤ 3

x ≤ 3 + 2

x ≤ 5

2º caso: x – 2 < 0 → |x – 2| = – (x – 2)

– (x – 2) ≤ 3 (-1)

x – 2 ≥ -3

x ≥ -3 + 2

x ≥ -1

As soluções da inequação estão entre -1 e 5, queremos só as soluções que são números naturais, são eles: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Inequação II:

|3x – 2| > 5

1º caso: 3x – 2 > 0 → |3x – 2| = 3x – 2

3x – 2 > 5

3x > 5 + 2

3x > 7

x > 7/3

x > 2,33…

2º caso: 3x – 2 < 0 → |3x – 2| = – (3x – 2)

– (3x – 2) > 5 · (-1)

3x – 2 < -5

3x < -5 + 2

3x < -3

x < -3/3

x < -1

Os números naturais que satisfazem a inequação II são os números maiores que 2,33…, ou seja, 3, 4, 5, 6, 7…

Os números naturais que são solução tanto da inequação I quanto da inequação II são os números 3, 4 e 5, o produto entre eles é 3 · 4 · 5 = 60.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática