Equação modular é uma equação que, no primeiro ou no segundo membro, tem termos em módulo. Para resolver problemas de equação modular, devemos aplicar a definição de módulo.
A equação modular é uma equação que, no primeiro ou no segundo membro, possui termos em módulo. O módulo, conhecido também como valor absoluto, está ligado à distância que um número tem até o zero. Como estamos falando de distância, o módulo de um número é sempre positivo. Resolver problemas envolvendo equação modular requer a aplicação da definição de módulo, geralmente dividimos a equação em dois casos possíveis:
Para conseguir resolver problemas de equação modular, torna-se necessário relembrar a definição de módulo. O módulo é sempre igual à distância que um número tem até o zero, e, para representar o módulo de um número n, utilizamos a barra reta da seguinte forma: |n|. Para calcular o |n|, dividimos em dois casos:
Sendo assim, podemos dizer que |n| é igual ao próprio n quando ele for um número positivo ou igual a zero, e, no segundo caso, |n| é igual ao oposto de n se ele for negativo. Lembre-se de que o oposto de um número negativo é sempre positivo, sendo assim, o |n| tem sempre um resultado igual a um número positivo.
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Para encontrar a solução de uma equação modular, é necessário analisar cada uma das possibilidades, ou seja, dividir, sempre em dois casos, cada um dos módulos. Além de saber a definição de módulo, para resolver equações modulares, é fundamental que se saiba resolver equações polinomiais.
Exemplo 1:
|x – 3| = 5
Para encontrar a solução dessa equação, é importante relembrar que existem dois resultados possíveis que faz com que |n| = 5, são eles, n = -5, pois |-5| = 5, e também n = 5, pois |5| = 5. Então, usando essa mesma ideia, temos que:
I → x – 3 = 5 ou
II → x – 3 = -5
Resolvendo uma das equações separadamente:
Resolução I:
x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Resolução II:
x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Então existem duas soluções: S = {-2, 8}.
Note que, se x = 8, a equação é verdadeira, pois:
|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Note também que, se x = -2, a equação também é verdadeira:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Exemplo 2:
|2x + 3| = 5
Assim como no exemplo 1, para encontrar a solução, é necessário dividir em dois casos, de acordo com a definição de módulo.
Quando temos a igualdade de dois módulos, precisamos dividir em dois casos:
1º caso, primeiro e segundo membro de mesmo sinal.
2º caso, primeiro e segundo membro de sinais opostos.
Resolução I:
Faremos com os dois lados maiores que zero, ou seja, simplesmente tiraremos o módulo. Podemos fazer também com ambos negativos, porém o resultado será o mesmo.
Como Δ é positivo nesse caso também, então há duas soluções reais, logo, o total de soluções reais é 4.
Questão 2 – (PUC SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Resolução
Alternativa A
Resolução I:
|2x – 1| = 2x – 1
Então, temos que:
2x – 1 = x – 1
2x – x = – 1 + 1
x = 0
Resolução II:
|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x – 1
-2x – x = -1 – 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de.
"Equação modular"; Brasil Escola.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm. Acesso em 05 de julho
de 2022.