Equação modular

A equação modular é uma equação que, no primeiro ou no segundo membro, possui termos em módulo. O módulo, conhecido também como valor absoluto, está ligado à distância que um número tem até o zero. Como estamos falando de distância, o módulo de um número é sempre positivo. Resolver problemas envolvendo equação modular requer a aplicação da definição de módulo, geralmente dividimos a equação em dois casos possíveis:

• quando o que está dentro do módulo é positivo e

• quando o que está dentro do módulo é negativo.

Leia também: Qual a diferença entre função e equação?

Tópicos deste artigo

• 1 - Módulo de um número real
• 2 - Exemplos:
• 3 - Como resolver uma equação modular?
• 4 - Exercícios resolvidos

Módulo de um número real

Para conseguir resolver problemas de equação modular, torna-se necessário relembrar a definição de módulo. O módulo é sempre igual à distância que um número tem até o zero, e, para representar o módulo de um número n, utilizamos a barra reta da seguinte forma: |n|. Para calcular o |n|, dividimos em dois casos:

Sendo assim, podemos dizer que |n| é igual ao próprio n quando ele for um número positivo ou igual a zero, e, no segundo caso, |n| é igual ao oposto de n se ele for negativo. Lembre-se de que o oposto de um número negativo é sempre positivo, sendo assim, o |n| tem sempre um resultado igual a um número positivo.

Exemplos:

a) |2| = 2
b) |-1| = -(-1) = 1

Veja também: Como resolver equação logarítmica?

Como resolver uma equação modular?

Para encontrar a solução de uma equação modular, é necessário analisar cada uma das possibilidades, ou seja, dividir, sempre em dois casos, cada um dos módulos. Além de saber a definição de módulo, para resolver equações modulares, é fundamental que se saiba resolver equações polinomiais.

Exemplo 1:

|x – 3| = 5

Para encontrar a solução dessa equação, é importante relembrar que existem dois resultados possíveis que faz com que |n| = 5, são eles, n = -5, pois |-5| = 5, e também n = 5, pois |5| = 5. Então, usando essa mesma ideia, temos que:

I → x – 3 = 5 ou
II → x – 3 = -5

Resolvendo uma das equações separadamente:

Resolução I:

x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8

Resolução II:

x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2

Então existem duas soluções: S = {-2, 8}.

Note que, se x = 8, a equação é verdadeira, pois:

|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5

Note também que, se x = -2, a equação também é verdadeira:

|-2 – 3| = 5
|-5| = 5

Exemplo 2:

|2x + 3| = 5

Assim como no exemplo 1, para encontrar a solução, é necessário dividir em dois casos, de acordo com a definição de módulo.

I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5

Resolução I:

2x + 3 = 5
2x = 5 – 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1

Resolução II:

2x + 3 = -5
2x = -5 – 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4

Então, o conjunto de soluções é: S = {1, -4}.

Exemplo 3:

|x + 3| = |2x – 1|

Quando temos a igualdade de dois módulos, precisamos dividir em dois casos:

1º caso, primeiro e segundo membro de mesmo sinal.

2º caso, primeiro e segundo membro de sinais opostos.

Resolução I:

Faremos com os dois lados maiores que zero, ou seja, simplesmente tiraremos o módulo. Podemos fazer também com ambos negativos, porém o resultado será o mesmo.

X + 3 ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
2x – 1 ≥ 0 → |2x – 1| = 2x – 1

x + 3 = 2x – 1
x – 2x = -1 – 3
x = -4 (-1)
x = 4

Resolução II:

Lados de sinais opostos. Escolheremos um lado para ser positivo, e o outro, negativo.

Escolhendo:

|x + 3| ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
|2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)

Então, temos que:

x + 3 = – (2x – 1)
x + 3 = – 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3

Então, o conjunto de soluções é: S = {4, -2/3}.

Acesse também: O que são equações irracionais?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (UFJF) O número de soluções negativas da equação modular |5x – 6| = x² é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Resolução

Alternativa E

Queremos resolver a equação modular:

|5x – 6| = x²

Então, vamos separar em dois casos:

Resolução I:

5x – 6 > 0 → |5x – 6| = 5x – 6

Então, temos que:

5x – 6 = x²
-x² + 5x – 6 = 0

Vale lembrar que o valor do delta nos diz quantas soluções a equação quadrática possui:

a = -1
b = 5
c = -6

Δ = b² – 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1

Como 1 é positivo, então, nesse caso, existem duas soluções reais.

Resolução II:

|5x – 6| < 0 → |5x – 6| = – (5x – 6)
– (5x – 6) = x²
– 5x + 6 = x²
– x² – 5x + 6 = 0

Δ = b² – 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49

Como Δ é positivo nesse caso também, então há duas soluções reais, logo, o total de soluções reais é 4.

Questão 2 – (PUC SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:

A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}

Resolução

Alternativa A

Resolução I:

|2x – 1| = 2x – 1

Então, temos que:

2x – 1 = x – 1
2x – x = – 1 + 1
x = 0

Resolução II:

|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x – 1
-2x – x = -1 – 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3