Equação modular

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir:
 

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4.

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral:
 

Exemplos
a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10

c) |x – 4| =
x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4
– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4


Equações Modulares

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.

Exemplos de equações modulares:

|x| = 7

|x + 6| = x + 6

|x – 3| + 4x = 7

|x + 2| = 4

Formas de resolução


Exemplo 1

|x + 2| = 4
Condições:
x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4
Resolução:
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6

S = {–6; 2}


Exemplo 2
 
|4x – 8| = x + 1
Condições:
|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1.

|4x – 8| = x + 1
4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1)

Resolução:
4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3}


Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3|

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível)

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1

Solução: {1}


Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais)

Solução: {1,4}




Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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