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Duas grandezas são conhecidas como diretamente proporcionais quando elas se relacionam de forma proporcional e direta. Isso significa que, em uma situação envolvendo essas grandezas, se uma delas aumentar o seu valor, a outra aumentará também na mesma proporção, ou seja, se uma grandeza dobra o seu valor, a outra também vai dobrar de valor.
No nosso cotidiano, há várias situações em que é possível identificar grandezas que são diretamente proporcionais, como a relação entre o peso de um determinado produto e o valor a ser pago por ele, ou a relação entre o tempo de trabalho e a produção de uma determinada máquina.
O fato de as grandezas serem diretamente proporcionais torna possível prever o comportamento dessas grandezas por meio da relação de proporcionalidade. Além das grandezas diretamente proporcionais, existem também as grandezas inversamente proporcionais, que são aquelas que se relacionam de forma inversa, como a velocidade e o tempo em um determinado percurso.
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Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre grandezas diretamente proporcionais
- 2 - O que são grandezas diretamente proporcionais?
- 3 - Como calcular grandezas diretamente proporcionais?
- 4 - Diferença entre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais
- 5 - Videoaula sobre grandezas proporcionais no Enem
- 6 - Exercícios resolvidos sobre grandezas diretamente proporcionais
Resumo sobre grandezas diretamente proporcionais
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Duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas aumentam ou diminuem na mesma proporção.
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É possível utilizar essa proporcionalidade para calcular valores desconhecidos.
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Existem várias situações no nosso dia a dia com grandezas diretamente proporcionais, como a relação entre o peso de um determinado produto e o valor a ser pago por ele.
O que são grandezas diretamente proporcionais?
Conhecemos como grandeza tudo aquilo que pode ser medido, como:
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tempo,
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velocidade,
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distância,
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massa,
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entre outros vários exemplos no nosso dia a dia.
Existem situações do nosso cotidiano em que há mais de uma grandeza relacionada e é bastante comum realizarmos a comparação entre essas grandezas para entender melhor o comportamento delas.
Há casos específicos em que essas grandezas se relacionam de forma diretamente proporcional, o que significa que elas aumentam ou diminuem na mesma proporção. Por exemplo, a quantidade de máquinas e a produção de uma fábrica são grandezas diretamente proporcionais, pois, se dobrarmos a quantidade de máquinas, a produção também dobrará, e se a quantidade de máquinas cair pela metade, a produção também será a metade. Veja outros exemplos:
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Peso e valor pago pela carne
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Distância percorrida por um automóvel e o combustível consumido
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Salário e imposto de renda
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Quantidade de convidados e quantidade de comida
Leia também: Porcentagem — a razão entre um número qualquer e 100
Como calcular grandezas diretamente proporcionais?
Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, é possível prever o comportamento de uma das grandezas para determinadas situações utilizando a propriedade fundamental das proporções, como faremos no exemplo a seguir.
Exemplo 1:
Em uma fábrica, há 5 máquinas que produzem 4920 peças diárias. Em um determinado dia, 2 máquinas ficaram paradas para manutenção. Sabendo que não há diferença na quantidade de peças produzidas entre as máquinas, o número de peças produzidas nesse dia foi de?
Resolução:
Primeiro é possível perceber que essas grandezas são diretamente proporcionais, pois, se eu diminuir a quantidade de máquinas, a quantidade de peças vai diminuir na mesma proporção, já que cada máquina produz a mesma quantidade de peças diariamente.
Sabendo que 5 máquinas produzem 4920 peças, queremos encontrar quantas peças serão produzidas pelas 3 máquinas restantes durante a manutenção. Como as grandezas são proporcionais, a razão entre 5 e 4920 tem que ser igual à razão entre 3 e x:
Multiplicando cruzado, temos que:
5x = 4920 · 3
5x = 14.760
x = 14.760 : 5
x = 2.952
Isso significa que 3 máquinas produzem um total de 2.952 peças.
Exemplo 2:
Em um açougue, um cliente pede R$ 18,00 de um determinado tipo de carne. Sabendo que 1 kg dessa carne custa R$ 25,00, então a quantidade de carne que esse cliente vai levar é de?
Resolução:
É fácil perceber que se trata de grandezas diretamente proporcionais, pois, se eu dobro a quantidade de carne, o preço será o dobro, ou se eu compro a metade de um quilo, o valor pago será também a metade do valor pago por 1 kg.
Então, podemos montar a proporção, na qual x é o peso de R$ 18,00 desse determinado tipo de carne:
Multiplicando cruzado, temos que:
25x = 18 · 1
25x = 18
x = 18 : 25
x = 0,72
Isso significa que, com R$ 18 reais, o cliente comprará 0,72 kg, que é igual a 720 gramas de carne.
Diferença entre grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais
Além das grandezas diretamente proporcionais, existem grandezas que podem se relacionar de forma inversa. Em uma determinada situação envolvendo duas grandezas, elas são classificadas como inversamente proporcionais quando, à medida que aumentamos o valor de uma dessas grandezas, o valor da outra grandeza diminui na mesma proporção, como a velocidade e o tempo para percorrer um determinado percurso. Se aumentarmos a velocidade, o tempo que será gasto para fazer esse determinado percurso será menor. Para saber mais sobre esse outro tipo de relação entre grandezas, leia o texto: Grandezas inversamente proporcionais.
Videoaula sobre grandezas proporcionais no Enem
Exercícios resolvidos sobre grandezas diretamente proporcionais
Questão 1 - (Enem)
Fontes alternativas
Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura animal. Em abril, a High Plains Bioenergy inaugurou uma biorrefinaria próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon, Oklahoma. A refinaria converte a gordura do porco, juntamente com o óleo vegetal, em biodiesel. A expectativa da fábrica é transformar 14 milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel.
Revista Scientific American. Brasil, ago. 2009 (adaptado).
Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha transformada e o volume de biodiesel produzido.
Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente:
A) 6 milhões.
B) 33 milhões.
C) 78 milhões.
D) 146 milhões.
E) 384 milhões.
Resolução
Alternativa A.
Note que 14 milhões de quilogramas de banha são convertidos em 112 milhões de litros de biodiesel. Seja x a quantidade de banha necessária para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, temos que:
Multiplicando cruzado, temos que:
112x = 14 · 48
112x = 672
x=672 : 112
x = 6 milhões
Questão 2 - Em uma empresa distribuidora de mala direta, João, Marcelo e Pedro são responsáveis por ensacar e etiquetar revistas.
Certa vez, receberam um lote de 6120 revistas e, ao terminarem a tarefa, perceberam que o lote de revistas havia sido dividido em partes diretamente proporcionais ao respectivo tempo de trabalho de cada um deles na empresa.
Sabendo que João trabalha há 9 meses na empresa, Marcelo há 12 meses e Pedro há 15 meses, o número de revistas que João ensacou e etiquetou foi:
A) 1 360.
B) 1 530.
C) 1 890.
D) 2 040.
E) 2 550.
Resolução
Alternativa D.
Primeiro realizaremos a soma dos temos: 9 + 12 + 15 = 36. Sabemos que 6120 revistas foram divididas proporcionalmente a 36 meses e que João trabalhou 12 meses. Logo, a razão entre 36 e 6120 é igual à razão entre 12 e a quantidade x de revistas que João ensacou e etiquetou:
Multiplicando cruzado, temos que:
36x = 12 · 6120
36x = 73440
x = 73440 : 36
x = 2040
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática