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A regra de três composta é um método utilizado para encontrar valores desconhecidos, quando o problema envolve grandezas que possuem proporção. É importante lembrar que existem duas possibilidades para as grandezas quando elas são proporcionais. Elas podem ser direta ou inversamente proporcionais.
Quando existem três ou mais grandezas que são proporcionais, aplicamos a regra de três composta seguindo um passo a passo para a resolução. Os passos são:
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identificação das grandezas;
-
construção da tabela;
-
análise da relação entre as grandezas; e
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resolução da equação gerada pelo problema.
A regra de três composta é uma extensão da regra de três simples, então, para dominar a composta, é essencial dominar a resolução da simples, que é aplicada quando há apenas duas grandezas.
Leia também: Cálculo de porcentagem com regra de três
Tópicos deste artigo
- 1 - Passo a passo para resolver uma regra de três composta
- 2 - Diferença entre regra de três simples e composta
- 3 - Exercícios resolvidos
Passo a passo para resolver uma regra de três composta
![Regra de três é um método para encontrar valores desconhecidos em grandezas proporcionais.](https://s2.static.brasilescola.uol.com.br/be/2021/03/regra-de-tres-composta.jpg)
Para resolver problemas envolvendo regra de três composta, precisamos seguir alguns passos. Esses passos são os mesmos, independentemente da quantidade de grandezas envolvidas na problema.
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1º passo: identificação das grandezas e construção da tabela.
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2º passo: analisar a proporção que existe entre a grandeza que contém a incógnita.
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3º passo: inverter a razão caso exista alguma grandeza inversamente proporcional à grandeza que contém a incógnita; caso não exista, ir direto para o passo quatro.
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4º passo: montar a equação, deixando a grandeza que possui incógnita no primeiro membro da igualdade e calcular o produto entre as demais, que ficarão no segundo membro.
→ Regra de três composta com três grandezas
Exemplo:
Uma construtora foi contratada para realizar a reforma de todas as escolas do município de Cocalzinho, em Goiás. As escolas são construídas com formado e tamanho padrão nessa cidade, logo o muro externo possui a mesma medida. Sabendo que 4 pintores levariam 8 dias para pintar 6 escolas, quanto tempo 8 pintores levariam para pintar 18 escolas?
Resolução:
As grandezas são: quantidade de pintores, dias e quantidade de escolas pintadas.
Agora vamos construir a tabela, começando sempre pela grandeza que possui a incógnita:
Agora é necessário analisar a relação que existe entre as grandezas, Na regra de três composta, a comparação é feita a partir da grandeza que possui a incógnita em relação às outras, ou seja, vamos comparar dias e pintores e dias e escolas.
Para comparar dias e pintores, vamos fixar a quantidade de escolas. Em uma mesma quantidade de escolas, se eu aumento a quantidade de pintores, a quantidade de dias que eu levo para fazer a reforma diminui, logo essas grandezas são inversamente proporcionais.
Comparando dias e escolas e fixando a quantidade de pintores, ao analisar a proporcionalidade, se o número de escolas aumenta, a quantidade de dias também aumenta.
Em resumo, temos que dias é inversamente proporcional à quantidade de pintores e diretamente proporcional à quantidade de escolas.
Para construir a equação, é necessário isolar a fração da incógnita e inverter a fração da grandeza inversamente proporcional.
Veja também: Três erros mais cometidos no uso da regra de três
→ Regra de três composta com quatro grandezas
Para resolver problemas de regra de três composta com quatro grandezas, seguimos os mesmos passos apresentados anteriormente.
Exemplo:
Em uma fábrica de peças para caminhão, para produzir uma determinada peça, sabemos que 3 máquinas, trabalhando durante 5 dias, ligadas durante 4 horas, conseguem produzir 4.000 peças, que é a demanda mensal da fábrica. Durante o processo, uma das máquinas estragou, o que fez com que a fábrica decidisse por aumentar a quantidade de dias de produção para 6 dias, e o tempo de trabalho das máquinas para 8 horas. Qual será a quantidade de peças produzidas nessa situação?
Resolução:
As grandezas são: quantidade de máquinas, dias, horas e quantidade de peças.
Analisando as proporções entre as grandezas, comparando máquinas com peças, dias com peças e horas com peças, podemos afirmar:
-
se eu aumento a quantidade de máquinas, consequentemente a produção de peças vai aumentar;
-
se eu aumento a quantidade de dias de trabalho das máquinas ou mesmo de horas de trabalho, há também um aumento na quantidade de peças produzidas, sendo assim, todas as grandezas são diretamente proporcionais à quantidade de peças produzidas.
Montando a tabela, temos que:
Agora resolvendo a equação:
Diferença entre regra de três simples e composta
O trabalho com grandezas é bastante comum em nosso cotidiano e, quando as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, é possível prever o que acontecerá com uma grandeza por meio da comparação entre elas.
A regra de três simples é utilizada para problemas com somente duas grandezas. Ela é aplicada quando conhecemos três valores, dois de uma grandeza e um de outra. Já a regra de três composta é aplicada em situações um pouco mais complexas, envolvendo mais de duas grandezas.
Vale ressaltar que os métodos são bastante parecidos, pois a regra de três composta nada mais é do que uma extensão da regra de três simples.
Acesse também: Três conceitos básicos de Matemática para o Enem
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (Enem 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:
A) 2
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9
Resolução
Alternativa C.
As gradezas são: capacidade, quantidade de ralos e tempo em horas. A grandeza que contém o valor desconhecido é a quantidade de ralos, logo vamos compará-la com a capacidade e com o tempo.
Fixando o tempo, se eu aumento a quantidade de ralos, a capacidade de escoar água também vai aumentar, logo essas grandezas são diretamente proporcionais. Se eu aumento a quantidade de ralos, fixando o volume, o tempo que gastamos para escoar toda a água vai diminuir, logo ralos e tempo são inversamente proporcionais.
Montando a tabela, temos que:
Invertendo a fração e a razão das horas, temos que:
Questão 2 – (Enem 2015 – segunda aplicação) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada.
Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?
A) 1 hora e 30 minutos.
B) 2 horas e 15 minutos.
C) 9 horas.
D)16 horas.
E) 24 horas
Resolução
Alternativa C.
As grandezas são: número de funcionários, número de camisetas e tempo em horas por dia. A incógnita está na grandeza horas por dia, então vamos analisar a proporção dela com as demais grandezas:
-
fixando o número de camisetas, se eu aumento a quantidade de funcionários, o tempo de trabalho por dia diminui, logo funcionários e horas é inversamente proporcional;
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fixando o número de funcionários, se eu diminuir as horas trabalhadas por dia, consequentemente o número de camisetas diminuirá, logo essas grandezas são diretamente proporcionais.
Montando as razões e invertendo a razão dos funcionários, temos que:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática