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Proporção

Proporção é definida como a igualdade entre duas razões. Ela possui algumas propriedades que facilitam a resolução de problemas.

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A proporção é definida como a igualdade entre duas razões, caso essa igualdade seja verdadeira, então dizemos que os números que foram as razões na ordem dada são proporcionais.

O estudo das proporções é essencial para o desenvolvimento matemático, pois elas possibilitam-nos relacionar grandezas, assim resolvendo problemas do nosso cotidiano. São exemplos de proporções: escala de um mapa, velocidade média de um móvel, e densidade de uma solução.

Leia também: Problemas envolvendo números fracionários

Tópicos deste artigo

O que é razão e proporção?

A razão entre dois números é o quociente entre eles na ordem em que são dados. Sejam a e b dois números racionais, em que b é diferente de 0, a razão entre a e b é dada por:

Quando se tem duas razões e ambas estão sendo comparadas por uma igualdade, então temos uma proporção. Caso a igualdade seja verdadeira, então os números serão proporcionais, caso contrário, então eles não serão proporcionais.

Os números racionais a, b, c e d são proporcionais se, e somente se, a igualdade a seguir for verdadeira.

De maneira equivalente, podemos dizer que a igualdade será verdadeira somente quando a multiplicação cruzada for verdadeira.

a · d = b · c

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Propriedades da proporção

Considere a seguinte proporção entre os números a, b, c e d:

Então as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade 1 – O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicação cruzada).

Propriedade 2 – A razão entre a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos e o primeiro termo é igual à razão entre a soma (ou diferença) dos dois últimos termos e o terceiro termo.

Leia também: Propriedades da proporção – quais são e como calcular?

Como calcular proporções

Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta aplicar a primeira propriedade, caso a igualdade seja verdadeira, então os números são proporcionais. Veja os exemplos:

Exemplo 1

Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais.

Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada.

 

Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa ordem, uma proporção.

Exemplo 2

Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x.

Por hipótese, temos que os números, na ordem que foram apresentados, são proporcionais, logo, podemos igualar as razões entre eles e aplicar a propriedade 1, veja:

Grandezas direta e inversamente proporcionais

Grandeza, em matemática, é tudo aquilo que é possível medir ou mensurar, por exemplo, quantidade, distância, massa, volume etc. As grandezas podem ser diretamente proporcionais (GDP) ou inversamente proporcionais (GIP), vejamos a diferença entre elas:

Grandezas diretamente proporcionais

Dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais se a razão dos valores da primeira grandeza é igual à dos valores da segunda grandeza, e assim sucessivamente. Por exemplo, a grandeza massa é proporcional ao peso de um objeto, veja na tabela:

Massa (kg)

Peso (N)

30

300

60

600

80

800

Observe que a razão entre as grandezas é sempre igual:

O mesmo vai acontecer se realizarmos a razão entre os demais valores.

Outra maneira de saber se duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais é verificando o crescimento ou decrescimento de ambas. Por exemplo, se uma grandeza aumenta, a outra também deverá aumentar, caso elas sejam diretamente proporcionais. Vejamos o exemplo:

Na tabela de massa x peso, veja que quanto maior é a massa do objeto (↑), maior será o peso dele (↑), logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

Exemplo

Os números x, t e 2 são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 10. Determine os valores de x e t.

Como o exemplo afirmou-nos que os números são diretamente proporcionais, então a razão entre eles é igual, assim:

Multiplicando cruzado cada uma das igualdades, temos:

5x = 5

x = 1

e

5t = 6

t = 6 ÷ 5

t = 1,2

Portanto, x = 1 e t = 1,2.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas ou mais grandezas serão inversamente proporcionais se a razão entre os valores da primeira for igual ao inverso da razão dos valores da segunda. Podemos interpretar isso de outra maneira, se uma grandeza cresce (↑) e a outra grandeza decresce (↓), então elas são inversamente proporcionais. Veja o exemplo:

As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Velocidade (km/h)

Tempo (horas)

50

2

100

1

150

0

Observe que quanto maior é a velocidade de determinada viagem (↑), menor será o tempo dessa viagem (↓). Veja também que se pegarmos a razão entre dois valores da primeira grandeza e o inverso da razão de dois valores da segunda grandeza, a igualdade será verdadeira.

Exemplo

Divida o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6.

Como queremos dividir o número 120 em duas partes e desconhecemo-las, vamos chamá-las de a e 120 – a. Pela definição de inversamente proporcional, a razão entre os primeiros valores é igual ao inverso da razão dos dois últimos valores. Assim:

Como a outra parte é 120 – a, então:

120 – a

120 – 72

48

Portanto, ao dividirmos o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6, obtemos 72 e 48.

A proporção é definida como a igualdade entre duas razões.
A proporção é definida como a igualdade entre duas razões.

Exercício resolvido

Questão 1 – (Fuvest) Na tabela a seguir, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m.

x

y

1

2

2

0

m

8

Resolução

Observe que o enunciado afirma que os valores de y são inversamente proporcionais aos do quadrado de x, ou seja, a razão entre os valores de y será igual ao inverso dos valores de x elevado ao quadrado.

Usando a mesma lógica, vamos determinar o valor de m.

 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

LUIZ, Robson. "Proporção"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao.htm. Acesso em 12 de agosto de 2022.

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Exercício 1

Os números a, 6 e 8 são diretamente proporcionais aos números 2, 12 e b. Podemos afirmar, então, que o valor de a + b é:

A) 14

B) 15

C) 16

D) 17

E) 18

Exercício 2

Nas aulas de física, Matheus notou que existe uma relação interessante entre a grandeza tempo e a grandeza velocidade. Ele percebeu que para percorrer um determinado percurso, à medida que a velocidade aumenta, o tempo gasto diminui. Isso acontece porque

A) essas grandezas são diretamente proporcionais.

B) essas grandezas são exponencialmente proporcionais.

C) essas grandezas são inversamente proporcionais.

D) essas grandezas não possuem relação.

E) essas grandezas são desproporcionais.

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