Fatoração e produtos notáveis

Fatoração e produtos notáveis são dois conceitos muito importantes na álgebra que se conectam diretamente. Ambos ajudam a simplificar expressões algébricas e a resolver equações de forma mais prática.

Leia também: O que é um polinômio?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre fatoração e produtos notáveis
• 2 - O que é fatoração e produtos notáveis?
• 3 - Relação entre fatoração e produtos notáveis
• 4 - Quais são os produtos notáveis?
  • → Quadrado da soma
  • → Quadrado da diferença
  • → Produto da soma pela diferença
  • → Cubo da soma
  • → Cubo da diferença
• 5 - Tipos de fatoração
  • → Fator comum em evidência
  • → Fatoração por agrupamento
  • → Trinômio quadrado perfeito
  • → Diferença de dois quadrados
  • → Soma de dois cubos
  • → Diferença de dois cubos
• 6 - Exercícios resolvidos sobre fatoração e produtos notáveis

Resumo sobre fatoração e produtos notáveis

• Fatoração e produtos notáveis são dois conceitos matemáticos que estão conectados. 
• Fatorar um polinômio significa representá-lo como a multiplicação de polinômios.
• Os produtos notáveis são usados para fatorar polinômios, especialmente no caso da diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos.
• Os casos principais de fatoração são: fator comum em evidência, agrupamento, trinômio quadrado perfeito, diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos.
• Os cinco casos principais de produtos notáveis são: quadrado da soma, quadrado da diferença, diferença de dois quadrados, cubo da soma, cubo da diferença e produto da soma pela diferença.

O que é fatoração e produtos notáveis?

Os produtos notáveis são fórmulas que ajudam a simplificar a multiplicação de polinômios, tornando os cálculos mais rápidos e fáceis. Eles envolvem padrões específicos, como o quadrado da soma, o quadrado da diferença, a diferença de dois quadrados, o cubo da soma, o cubo da diferença e o produto da soma pela diferença. Conhecendo os produtos notáveis, podemos expandir ou simplificar expressões algébricas sem precisar fazer as multiplicações passo a passo.

A fatoração de polinômios é basicamente reescrever um polinômio como o produto de dois ou mais polinômios, o que ajuda a simplificar a expressão e facilitar a resolução de problemas.

Relação entre fatoração e produtos notáveis

Para compreender todos os casos de fatoração de polinômio, é fundamental que antes se conheçam os produtos notáveis, pois são eles que nos oferecem os padrões que facilitam o processo de fatoração. Quando estamos realizando a fatoração de um polinômio, estamos reescrevendo-o como um produto entre polinômios e muitas vezes os padrões encontrados ao estudar os produtos notáveis aparecem na expressão algébrica. Reconhecendo esses padrões, podemos fatorar o polinômio, sem precisar fazer o processo completo de multiplicação. Os produtos notáveis são ferramentas essenciais que tornam a fatoração mais simples e ágil.

Veja também: Como simplificar uma fração

Quais são os produtos notáveis?

Conhecemos cinco casos de produtos notáveis:

• quadrado da soma;
• quadrado da diferença;
• diferença de dois quadrados;
• cubo da soma;
• cubo da diferença;
• produto da soma pela diferença.

Vejamos a seguir cada um deles.

→ Quadrado da soma

Quando há a soma entre dois termos elevada ao quadrado:

• Expressão algébrica: $(a+b)^2$
• Caso expandido: $a^2+2ab+b^2$

Então, temos que:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

→ Quadrado da diferença

Quando há a diferença entre dois termos elevada ao quadrado:

• Expressão algébrica: $(a-b)^2$
• Caso expandido: $a^2-2ab+b^2$

De modo geral, temos que:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

→ Produto da soma pela diferença

Quando há um produto da soma de dois termos pela diferença entre esses mesmos dois temos:

• Expressão algébrica: $(a+b)(a-b)$
• Caso expandido: $a^2-b^2$

De modo geral, temos que:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

→ Cubo da soma

Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:

• Expressão algébrica: $(a+b)^3$
• Caso expandido: $a^3+3a²b+3ab²+b^3$

Logo, temos que:

$(a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^3$

→ Cubo da diferença

Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:

• Expressão algébrica: $(a-b)^3$
• Caso expandido: $a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$

Então, temos que:

$(a-b)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3$

Tipos de fatoração

Os casos de fatoração são:

• fator comum em evidência;
• agrupamento;
• trinômio quadrado perfeito;
• diferença entre dois quadrados;
• soma de dois cubos;
• diferença de dois cubos.

Veremos a seguir cada um deles.

→ Fator comum em evidência

Quando existe um fator comum entre todos os termos do polinômio, podemos utilizar esse método de fatoração, como no exemplo a seguir.

Exemplo:

$16x^2y + 8xy - 12x^3$

Resolução:

Perceba que 12, 8 e 16 são todos múltiplos de 4, logo 4 é fator comum a todos os termos. Agora, analisando as variáveis, note que x aparece pelo menos 1 vez em todos os termos, logo o fator comum é 4x, e o colocaremos em evidência, dividindo cada um dos termos do polinômio por 4x:

$16x^2y + 8xy - 12x^3$

$4x \left( 4xy + 2y - 3x^2 \right)$

→ Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é utilizada quando é possível encontrar um fator comum entre os termos de dois a dois.

Exemplo:

Fatore a seguinte expressão:

$ax+ay+bx+by$

Resolução:

Separamos os termos em dois grupos:

$(ax+ay)+(bx+by)$

Agora colocamos o fator comum de cada grupo em evidência:

$a(x+y)+b(x+y)$

Percebemos que o termo (x + y) aparece duas vezes, então o colocamos em evidência:

$(x+y)(a+b)$

Logo, temos que:

$ax+ay+bx+by=(x+y)(a+b)$

→ Trinômio quadrado perfeito

Durante o estudo dos produtos notáveis, o quadrado da soma ou o quadrado da diferença gera como resultado um trinômio quadrado perfeito, então fatorar um trinômio quadrado perfeito é transformar esse polinômio em um desses produtos.

Temos que:

$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$

Exemplo:

Fatore o polinômio a seguir:

$x²+6x+9$

Note que:

• x² é um quadrado perfeito, pois x² = (x)².
• 9 também é um quadrado perfeito, pois 9 = 3².
• O termo central é 6x e note que: 6x = 2 ⋅ x ⋅ 3.

Como a expressão segue o padrão de um trinômio quadrado perfeito, ela pode ser reescrita como:

$x^2+6x+9=(x+3)^2$

→ Diferença de dois quadrados

A diferença de dois quadrados é outro caso de fatoração derivado de um produto notável.

Sabemos que:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Então reescreveremos um polinômio do tipo a² - b² como (a + b) (a - b).

Exemplo:

Fatore o polinômio: x² –  9.

Resolução:

Sabemos que 9 = 3², então temos a diferença entre dois quadrados perfeitos. Analisando esse polinômio, podemos reescrevê-lo como:

$x^2-3^2=(x+3)(x-3)$

→ Soma de dois cubos

Dada a soma de a³ e b³, podemos fatorar essa soma como:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2–ab+b^2 )$

Exemplo:

Fatore o polinômio 64 + 8x³.

Sabemos que 64 = 4³ e que 8a³ = (2a)³, então na forma fatorada, temos que:

$64+8a^3=(4+2a)(4^2–4⋅2a+(4a)^2 )$

$64+8a^3=(4+2a)(16-8a+16a^2 )$

→ Diferença de dois cubos

A diferença entre dois cubos pode ser fatorada por:

$x³–y³=(x–y)(x²+xy+y²)$

Exemplo:

Fatore o polinômio: x³ - 8.

Resolução:

Sabemos que 8 = 2³, logo temos que:

$x^3-8=(x-2)(x^2+x⋅2+2^2 )$

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$

Saiba mais: Qual a diferença entre monômios e polinômios?

Exercícios resolvidos sobre fatoração e produtos notáveis

Questão 1

Fatore o polinômio:

$6x^2+9x$

A) $(2x+3)(x)$

B) $3x(2x+3)$

C) $x(6x+9)$

D) $3(2x^2+3x)$

E) $(x+3)(6x)$

Resolução: Alternativa B.

Fatorando com o fator comum em evidência, temos que ambos os termos são múltiplos de 3x, logo:

$6x^2+9x=3x(2x+3)$

 Questão 2

Sabendo que os produtos notáveis são expressões algébricas com padrões definidos, qual é o resultado da expressão a seguir?

$(x+2)^2$

A) $x^2+4x+4$

B) $x^2+4$

C) $x^2+2x+4$

D) $x^2+4x$

E) $x^2+4x+2$

Resolução: Alternativa A.

Calculando o produto notável, temos que:

$(x+2)^2=(x+2)(x+2)$

$(x+2)^2=x^2+4x+4$

Fontes

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. Harbra, 1986.

IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual,2013