Fatoração e produtos notáveis

Fatoração e produtos notáveis são dois conceitos muito importantes na álgebra que se conectam diretamente. Ambos ajudam a simplificar expressões algébricas e a resolver equações de forma mais prática.

Leia também: O que é um polinômio?

Resumo sobre fatoração e produtos notáveis

• Fatoração e produtos notáveis são dois conceitos matemáticos que estão conectados. 
• Fatorar um polinômio significa representá-lo como a multiplicação de polinômios.
• Os produtos notáveis são usados para fatorar polinômios, especialmente no caso da diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos.
• Os casos principais de fatoração são: fator comum em evidência, agrupamento, trinômio quadrado perfeito, diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e diferença de dois cubos.
• Os cinco casos principais de produtos notáveis são: quadrado da soma, quadrado da diferença, diferença de dois quadrados, cubo da soma, cubo da diferença e produto da soma pela diferença.

O que é fatoração e produtos notáveis?

Os produtos notáveis são fórmulas que ajudam a simplificar a multiplicação de polinômios, tornando os cálculos mais rápidos e fáceis. Eles envolvem padrões específicos, como o quadrado da soma, o quadrado da diferença, a diferença de dois quadrados, o cubo da soma, o cubo da diferença e o produto da soma pela diferença. Conhecendo os produtos notáveis, podemos expandir ou simplificar expressões algébricas sem precisar fazer as multiplicações passo a passo.

A fatoração de polinômios é basicamente reescrever um polinômio como o produto de dois ou mais polinômios, o que ajuda a simplificar a expressão e facilitar a resolução de problemas.

Relação entre fatoração e produtos notáveis

Para compreender todos os casos de fatoração de polinômio, é fundamental que antes se conheçam os produtos notáveis, pois são eles que nos oferecem os padrões que facilitam o processo de fatoração. Quando estamos realizando a fatoração de um polinômio, estamos reescrevendo-o como um produto entre polinômios e muitas vezes os padrões encontrados ao estudar os produtos notáveis aparecem na expressão algébrica. Reconhecendo esses padrões, podemos fatorar o polinômio, sem precisar fazer o processo completo de multiplicação. Os produtos notáveis são ferramentas essenciais que tornam a fatoração mais simples e ágil.

Veja também: Como simplificar uma fração

Quais são os produtos notáveis?

Conhecemos cinco casos de produtos notáveis:

• quadrado da soma;
• quadrado da diferença;
• diferença de dois quadrados;
• cubo da soma;
• cubo da diferença;
• produto da soma pela diferença.

Vejamos a seguir cada um deles.

→ Quadrado da soma

Quando há a soma entre dois termos elevada ao quadrado:

• Expressão algébrica: \((a+b)^2\)
• Caso expandido: \(a^2+2ab+b^2\)

Então, temos que:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

→ Quadrado da diferença

Quando há a diferença entre dois termos elevada ao quadrado:

• Expressão algébrica: \((a-b)^2\)
• Caso expandido: \(a^2-2ab+b^2\)

De modo geral, temos que:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

→ Produto da soma pela diferença

Quando há um produto da soma de dois termos pela diferença entre esses mesmos dois temos:

• Expressão algébrica: \((a+b)(a-b)\)
• Caso expandido: \(a^2-b^2\)

De modo geral, temos que:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

→ Cubo da soma

Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:

• Expressão algébrica: \((a+b)^3\)
• Caso expandido: \(a^3+3a²b+3ab²+b^3\)

Logo, temos que:

\((a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^3\)

→ Cubo da diferença

Quando há a soma entre dois termos elevada ao cubo:

• Expressão algébrica: \((a-b)^3\)
• Caso expandido: \(a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3\)

Então, temos que:

\((a-b)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3\)

Tipos de fatoração

Os casos de fatoração são:

• fator comum em evidência;
• agrupamento;
• trinômio quadrado perfeito;
• diferença entre dois quadrados;
• soma de dois cubos;
• diferença de dois cubos.

Veremos a seguir cada um deles.

→ Fator comum em evidência

Quando existe um fator comum entre todos os termos do polinômio, podemos utilizar esse método de fatoração, como no exemplo a seguir.

Exemplo:

\(16x^2y + 8xy - 12x^3 \)

Resolução:

Perceba que 12, 8 e 16 são todos múltiplos de 4, logo 4 é fator comum a todos os termos. Agora, analisando as variáveis, note que x aparece pelo menos 1 vez em todos os termos, logo o fator comum é 4x, e o colocaremos em evidência, dividindo cada um dos termos do polinômio por 4x:

\(16x^2y + 8xy - 12x^3 \)

\(4x \left( 4xy + 2y - 3x^2 \right) \)

→ Fatoração por agrupamento

A fatoração por agrupamento é utilizada quando é possível encontrar um fator comum entre os termos de dois a dois.

Exemplo:

Fatore a seguinte expressão:

\(ax+ay+bx+by\)

Resolução:

Separamos os termos em dois grupos:

\((ax+ay)+(bx+by)\)

Agora colocamos o fator comum de cada grupo em evidência:

\(a(x+y)+b(x+y)\)

Percebemos que o termo (x + y) aparece duas vezes, então o colocamos em evidência:

\((x+y)(a+b)\)

Logo, temos que:

\(ax+ay+bx+by=(x+y)(a+b)\)

→ Trinômio quadrado perfeito

Durante o estudo dos produtos notáveis, o quadrado da soma ou o quadrado da diferença gera como resultado um trinômio quadrado perfeito, então fatorar um trinômio quadrado perfeito é transformar esse polinômio em um desses produtos.

Temos que:

\((a±b)^2=a^2±2ab+b^2\)

Exemplo:

Fatore o polinômio a seguir:

\(x²+6x+9\)

Note que:

• x² é um quadrado perfeito, pois x² = (x)².
• 9 também é um quadrado perfeito, pois 9 = 3².
• O termo central é 6x e note que: 6x = 2 ⋅ x ⋅ 3.

Como a expressão segue o padrão de um trinômio quadrado perfeito, ela pode ser reescrita como:

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)

→ Diferença de dois quadrados

A diferença de dois quadrados é outro caso de fatoração derivado de um produto notável.

Sabemos que:

\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

Então reescreveremos um polinômio do tipo a² - b² como (a + b) (a - b).

Exemplo:

Fatore o polinômio: x² –  9.

Resolução:

Sabemos que 9 = 3², então temos a diferença entre dois quadrados perfeitos. Analisando esse polinômio, podemos reescrevê-lo como:

\(x^2-3^2=(x+3)(x-3)\)

→ Soma de dois cubos

Dada a soma de a³ e b³, podemos fatorar essa soma como:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2–ab+b^2 )\)

Exemplo:

Fatore o polinômio 64 + 8x³.

Sabemos que 64 = 4³ e que 8a³ = (2a)³, então na forma fatorada, temos que:

\(64+8a^3=(4+2a)(4^2–4⋅2a+(4a)^2 )\)

\(64+8a^3=(4+2a)(16-8a+16a^2 )\)

→ Diferença de dois cubos

A diferença entre dois cubos pode ser fatorada por:

\(x³–y³=(x–y)(x²+xy+y²)\)

Exemplo:

Fatore o polinômio: x³ - 8.

Resolução:

Sabemos que 8 = 2³, logo temos que:

\(x^3-8=(x-2)(x^2+x⋅2+2^2 )\)

\(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)

Saiba mais: Qual a diferença entre monômios e polinômios?

Exercícios resolvidos sobre fatoração e produtos notáveis

Questão 1

Fatore o polinômio:

\(6x^2+9x\)

A) \((2x+3)(x)\)

B) \(3x(2x+3)\)

C) \(x(6x+9)\)

D) \(3(2x^2+3x)\)

E) \((x+3)(6x)\)

Resolução: Alternativa B.

Fatorando com o fator comum em evidência, temos que ambos os termos são múltiplos de 3x, logo:

\(6x^2+9x=3x(2x+3)\)

 Questão 2

Sabendo que os produtos notáveis são expressões algébricas com padrões definidos, qual é o resultado da expressão a seguir?

\((x+2)^2\)

A) \(x^2+4x+4\)

B) \(x^2+4\)

C) \(x^2+2x+4\)

D) \( x^2+4x\)

E) \(x^2+4x+2\)

Resolução: Alternativa A.

Calculando o produto notável, temos que:

\((x+2)^2=(x+2)(x+2)\)

\((x+2)^2=x^2+4x+4\)

Fontes

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. Harbra, 1986.

IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual,2013