Análise combinatória

A análise combinatória é um campo de estudo da matemática associado com as regras de contagem. No início do século XVIII, o estudo sobre jogos envolvendo dados e cartas fez com que as teorias de contagem tivessem grande desenvolvimento.

O trabalho da análise combinatória possibilita a realização de contagens cada vez mais precisas. O princípio fundamental da contagem (PFC), o fatorial e os tipos de agrupamento são exemplos de conceitos estudados na análise combinatória, que, além de propiciar maior precisão, auxilia no desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a probabilidade e o binômio de Newton.

Leia também: Arranjo ou combinação?

Tópicos deste artigo

• 1 - Para que serve a análise combinatória?
• 2 - Princípio fundamental da contagem (PFC)
• 3 - Fatorial
• 4 - Tipos de agrupamento
  • Arranjo simples
  • Permutação simples
  • Combinação simples
• 5 - Análise combinatória e probabilidade
• 6 - Exercícios resolvidos

Para que serve a análise combinatória?

A analise combinatória está associada com o processo de contagem, ou seja, o estudo dessa área da matemática possibilita-nos desenvolver ferramentas que nos auxiliam na realização de contagens de maneira mais eficiente. Vamos analisar um problema típico de contagem, veja:

• Exemplo 1

Considere três cidades A, B e C interligadas pelas rodovias R₁, R₂, R₃, R₄ e R₅. Determine de quantas maneiras podemos ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B.

Observe que precisamos sair da cidade A e ir para cidade B, e somente depois podemos seguir viagem para cidade C, assim vamos analisar todas as possibilidades de realizarmos o evento seguindo as rodovias.

1ª maneira: R₁ → R₃

2ª maneira: R₁ → R₄

3ª maneira: R₁ → R₅

4ª maneira: R₂ → R₃

5ª maneira: R₂ → R₄

6ª maneira: R₂ → R₅

Portanto, temos seis maneiras diferentes de ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B. No entanto, observe que o problema proposto é relativamente simples e que a análise realizada foi pouco trabalhosa. Assim, a partir de agora, vamos estudar ferramentas mais sofisticadas que possibilitam resolver problemas com bem menos trabalho.

Princípio fundamental da contagem (PFC)

Considere um evento E que possa ser realizado em n etapas independentes e consecutivas. Agora, considere que o número de possibilidades de realizar-se a primeira etapa seja igual a P₁, imagine também que o número de possibilidades de realizar-se a segunda etapa seja de P₂, e assim sucessivamente, até que cheguemos à última etapa, que possui P_n possibilidades de ser realizada.

O princípio fundamental da contagem (PFC) afirma que o total de possibilidades de realizar-se o evento E é dado por:

P₁ ·P₂ · … · P_n

Dessa forma, o total é dado pelo produto das possibilidades de cada uma das etapas que constituem o evento E. Observe que, para determinar-se o total de possibilidades de realização do evento E, é necessário conhecer-se o total de possibilidades de cada uma das etapas.

• Exemplo 2

Vamos refazer o exemplo 1 utilizando-nos do princípio fundamental da contagem.

Considere a imagem do exemplo 1.

Observe que o evento pode ser realizado em duas etapas, a primeira consiste em ir da cidade A para cidade B, e a segunda, em ir da cidade B para cidade C. Para realizarmos a primeira etapa, temos duas possibilidades (estradas R₁ e R₂), e, para realizarmos a segunda etapa, temos três possibilidades (R₃, R₄ e R₅).

1ª etapa → duas possibilidades

2ª etapa → três possibilidades

Pelo princípio fundamental da contagem, devemos multiplicar o total de possibilidades de cada etapa.

2 · 3

6

Portanto, para ir da cidade A para cidade C passando pela cidade B, temos o total de seis possibilidades.

• Exemplo 3

De quantas maneiras podem ser distribuídas as três medalhas olímpicas numa prova de mountain bike com cinco competidores?

Organizar a distribuição das medalhas é um evento que pode ser realizado em três etapas. A primeira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará com a medalha de ouro, ou seja, cinco possibilidades.

A segunda etapa consiste em analisar-se as possibilidades de quem ficará com a medalha de prata, ou seja, quatro, uma vez que o primeiro colocado não entra nessa escolha. A terceira etapa consiste em analisar-se o total de possibilidades de quem ficará com a medalha de bronze, ou seja, três, uma vez que os dois primeiros já foram escolhidos.

1ª etapa → cinco possibilidades

2ª etapa → quatro possibilidades

3ª etapa → três possibilidades

Então, pelo princípio fundamental da contagem, temos:

5 · 4 · 3

60 possibilidades

Veja também: Princípio aditivo da contagem - união de um ou mais conjuntos

Fatorial

O fatorial é uma forma de decompor-se um número natural. Para calcular-se o fatorial de um número, basta multiplicá-lo por todos os seus antecessores até o número 1. O fatorial é representado pelo sinal de exclamação — “!”.

Veja alguns exemplos de como se calcular o fatorial de alguns números.

a) 2! (lê-se: dois fatorial)

Para o cálculo, basta multiplicarmos o número que acompanha o fatorial por todos seus antecessores até o número 1, assim:

2! = 2 ·1 = 2

b) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24

c) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

d) 1! = 1

Formalmente podemos escrever o fatorial da seguinte maneira:

Considere um número natural n > 2. O fatorial de n é indicado por n! e é dado pela multiplicação de n por todos seus antecessores inteiros positivos.

n! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1

Observe os fatoriais a seguir:

4! e 5!

Agora realize o desenvolvimento de ambos:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

4! = 4 · 3 · 2 ·1

Observe que no desenvolvimento do 5! aparece o desenvolvimento do 4!. Portanto, podemos escrever o 5! desta forma:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

5! = 5 · 4!

• Exemplo 4

Calcule o fatorial a seguir:

Veja que o 15! foi desenvolvido até o 13!. Observe também que, no numerador da fração, os elementos estão sendo multiplicados, logo, podemos “cortar” o 13!, resultando somente em 15 · 14.

Observação: 0! = 1

Tipos de agrupamento

Alguns problemas de contagem são mais complexos e resolvidos com maior facilidade mediante novas ferramentas. Essas ferramentas são chamadas de agrupamento, pois elas agrupam elementos de diferentes maneiras, facilitando o processo de contagem. São esses agrupamentos: arranjo simples, permutação, e combinação simples.

• Arranjo simples

Considere um conjunto com n elementos distintos. Vamos chamar de arranjo de n os elementos tomados p a p, qualquer sequência ordenada por p, e os elementos distintos escolhidos entre os n elementos.

Dessa forma, a quantidade de subconjuntos formados por p elementos será o arranjo de n elementos tomados p a p. A fórmula que nos permite realizar o cálculo do número de arranjos é dada por:

• Exemplo 5

Calcule o valor de A_4,2 + A_5,2.

Para calcularmos o valor da expressão, vamos determinar cada um dos arranjos e, em seguida, somar esses valores. Para determinarmos o valor de cada arranjo, devemos substituir os valores na fórmula.

Veja que n = 4 e p = 2, ambos foram substituídos na fórmula. Agora, devemos calcular o valor do arranjo de cinco elementos tomados dois a dois.

Assim, temos que:

A_4,2 + A_5,2

12 + 20

32

• Exemplo 6

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados usando-se os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Nesse problema podemos utilizar o arranjo simples, uma vez que 2435 ≠ 4235. Veremos que, em alguns casos, a ordem dos elementos não os diferencia, e, dessa forma, não podemos utilizar o arranjo.

Como queremos determinar o total de números que podem ser formados, observe que o total de elementos é igual a oito, e queremos agrupá-los de quatro em quatro, portanto:

• Permutação simples

Considere um conjunto com n elementos. Vamos chamar de permutação simples de n elementos todo arranjo de n elementos tomados n a n. Assim temos que:

Para que não haja confusão entre os conceitos, vamos denotar a permutação simples de n elementos por P_n. Portanto, temos que:

P_n = n!

• Exemplo 7

Calcule P₇ e P₃.

Para calcularmos essas permutações, devemos substituir os valores na fórmula. Veja:

P₇ = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

P₃ = 3 · 2 · 1

P₃ = 6

• Exemplo 8

Determine quantos anagramas podem haver na palavra Brasil.

Entendemos como anagrama todas as possíveis transposições das letras da palavra, por exemplo, “Lisarb” é um anagrama da palavra Brasil. Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos calcular a permutação das letras da palavra, assim temos que:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Portanto, a palavra Brasil possui 720 anagramas.

Acesse também: Permutação com elementos repetidos

• Combinação simples

Considere um conjunto A com n elementos distintos. Vamos chamar de combinação dos n elementos tomados p a p qualquer subconjunto de A formado por p elementos. A fórmula para o calculo da combinação é dada por:

• Exemplo 9

Calcule a combinação de 10 elementos tomados de quatro a quatro.

• Exemplo 10

Quantos quadriláteros distintos podemos formar com vértices nos pontos A, B, C, D, E e F?

Veja que o quadrilátero ABCD é igual ao quadrilátero CDBA nesse contexto, logo, devemos utilizar a combinação e não arranjos. Temos o total de seis pontos e queremos combiná-los de quatro em quatro, assim:

Portanto, podemos formar 15 quadriláteros distintos.

Análise combinatória e probabilidade

O estudo da probabilidade está intimamente relacionado com o estudo da análise combinatória. Em alguns problemas da probabilidade, é necessário determinar-se o espaço amostral, que consiste em um conjunto formado por todos os possíveis resultados de um determinado evento.

Em alguns casos, o espaço amostral E é escrito de maneira bem direta, como no lançamento de uma moeda honesta, em que os possíveis resultados são cara ou coroa e são denotados da seguinte maneira:

E = {cara, coroa}

Agora imagine a seguinte situação: um dado é lançado três vezes consecutivas e estamos interessados em determinar o espaço amostral desse experimento. Veja que anotar todas as possibilidades já não é uma tarefa tão simples, precisamos utilizar o princípio fundamental da contagem (PFC). O evento pode ser realizado em três etapas, em cada uma delas temos seis possibilidades, uma vez que um dado possui seis faces, assim:

1ª etapa → seis possibilidades

2ª etapa → seis possibilidades

3ª etapa → seis possibilidades

Pelo PFC, temos que o total de possibilidades é de:

6 · 6 · 6

216

Assim podemos dizer que o espaço amostral desse evento é 216.

Veja que para o estudo da probabilidade é necessário ter-se um conhecimento básico de análise combinatória, pois, sem determinarmos o espaço amostral de um experimento, é impossível resolvermos a grande maioria dos exercícios de probabilidade. Para saber mais detalhes sobre esse campo da matemática, leia o texto: Probabilidade.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Determine a quantidade de anagramas da palavra castelo. Em seguida, determine a quantidade de anagramas que começam com a letra c.

Resolução

Para determinarmos a quantidade de anagramas, devemos calcular a permutação da quantidade de letras, assim:

P₇ = 7!

P₇ = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₇ = 5040

A palavra possui 5040 anagramas. Agora, para determinarmos a quantidade de anagramas que começam com a letra c, devemos fixar a letra e calcular o anagrama das demais, veja:

C __ __ __ __ __ __

Ao fixarmos a letra c, note que sobraram seis campos para calcularmos a permutação, assim:

P₆ = 6!

P₆ = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₆ = 720

Portanto, temos 720 anagramas da palavra castelo que começam com a letra c.

Questão 2 – Em uma sala de aula, tem-se cinco homens e sete mulheres. Quantos grupos de três homens e quatro mulheres podem ser formados?

Resolução

Primeiramente, veja que a ordem na qual escolhemos as pessoas não importa, por exemplo o grupo formado por João, Marcos e José é o mesmo grupo formado por Marcos, João e José, portanto, devemos utilizar a combinação para o cálculo.

Vamos calcular separadamente a quantidade de grupos que podem ser formados por homens e mulheres, e, em seguida, vamos multiplicar esses resultados, pois cada grupo de homens pode misturar-se com cada grupo de mulheres.

Homens

Total → 5

Quantidade no grupo → 3

Mulheres

Total → 7

Quantidade no grupo → 4

Portanto, o total de grupos que podem ser formados por três homens e quatro mulheres é de:

C_5,3 · C_7,4

10 · 35

350

Por Robson Luiz
Professor de Matemática