Permutação com elementos repetidos

Permutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, pois elementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja o exemplo abaixo:

A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:

Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:

P₁₀ = 10! = 3.628.800

Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMÁTICA será:



Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação com elementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:

Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetem n₁ vezes, n₂ vezes e n_n vezes. Então, a permutação é calculada:



Exemplo 1:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando a permutação teremos:


Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.

Exemplo 2:
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando a permutação teremos:

Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.

Exemplo 3:
Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverá começar com a letra B?

B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
↓                          ↓
1                       P^2,3₇

1 . P^2,3₇ =   7!    = 420
                  2! . 3!

Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.

Por Danielle de MIranda
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RAMOS, Danielle de Miranda. "Permutação com elementos repetidos "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacao-com-elementos-repetidos.htm. Acesso em 22 de setembro de 2021.