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Permutação com repetição

Permutação com repetição consiste em todos os agrupamentos ordenados que podemos formar com um conjunto finito de elementos, havendo dois ou mais que se repetem.

Fórmula da permutação com repetição.
Fórmula da permutação com repetição.
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A permutação com repetição é um tipo de agrupamento estudado na Análise Combinatória. Calcular a permutação é calcular a quantidade de reordenamentos possíveis que podemos formar com um conjunto finito de elementos. Quando entre esses elementos existe uma repetição, ou seja, quando há elementos repetidos nesse conjunto, temos uma permutação com repetição.

Saiba mais: Arranjo com repetição — os reagrupamentos ordenados que podemos formar com parte dos elementos de um conjunto

Tópicos deste artigo

Resumo sobre permutação com repetição

  • A permutação com repetição consiste nos ordenamentos que podemos formar com todos os n elementos de um conjunto, sendo que há elementos iguais nesse conjunto.

  • Para calcular a quantidade de permutações com repetição de um conjunto com n elementos, calculamos a permutação de n e dividimos pelo produto do fatorial de quantas vezes cada um dos elementos se repete. Isso é representado pela seguinte fórmula:

\(P_n^{k_1,k_2,…k_i }=\frac{n!}{k_1 !⋅k_2 !⋅…⋅k_i !}\)

  • Na permutação simples temos mais possibilidades de agrupamentos, pois a ordem dos elementos é importante.

Permutação com repetição

Permutação com repetição consiste em todos os reordenamentos que podemos fazer com um conjunto de n elementos, sendo que há repetição entre eles. Podemos perceber a presença da permutação com repetição em problemas envolvendo senhas, algarismos numéricos, anagramas de palavras que possuem letras repetidas, entre outros.

  • Exemplo:

Quais são os números de 4 algarismos que podemos formar utilizando {1, 1, 5, 6}?

Resolução:

Note que temos uma repetição entre os elementos que vão compor o número. O algarismo 1 aparece duas vezes, então vamos listar os números possíveis:

1156, 1165, 1561, 1651, 5611, 6511, 5116, 6115, 5161, 6151, 1615, 1516

Há 12 números possíveis.

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Fórmula da permutação com repetição

No estudo da análise combinatória, muitas vezes o interesse não está na lista de todos os reordenamentos possíveis, mas sim na quantidade de reordenamentos que podem ser formados. Para calcular a quantidade de permutações possíveis de um conjunto que possui repetições, ou seja, para calcular a permutação com repetição de um conjunto que possui n elementos, sendo que um elemento se repete k1 vez, outro elemento se repete k2 vezes e assim sucessivamente, utilizamos a fórmula:

\(P_n^{k_1,k_2,…k_i }=\frac{n!}{k_1 !⋅k_2 !⋅…⋅k_i !}\)

Como calcular a permutação com repetição?

Para calcular a permutação com repetição, basta encontrar o valor de n, ou seja, quantos elementos há no conjunto, e saber quantas vezes cada elemento se repete.

  • Exemplo:

Utilizando o exemplo anterior sobre os algarismos {1, 1, 5, 6}, calcularemos o total de permutações possíveis utilizando a fórmula.

Resolução:

Sabemos que há 4 elementos, logo n = 4. Além disso, sabemos que o único algarismo que se repete é o 1, aparecendo 2 vezes, logo k = 2. Portanto:

\(P_4^2=\frac{4!}{2!}\)

Então temos que:

\(P_4^2=\frac{24}2=12\)

Como vimos, há 12 permutações possíveis.

  • Exemplo 2:

Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra MATEMÁTICA?

Resolução:

Para calcular a quantidade de anagramas possíveis, primeiramente contaremos quantas letras a palavra tem. No caso, n = 10.

• A letra M repete 2 vezes.

• A letra A repete 3 vezes.

• A letra T repete 2 vezes.

Assim, a quantidade de anagramas possíveis pode ser calculada por:

\(P_{10}^{2,3,2}=\frac{10!}{2!3!2!}\)

\(P_{10}^{2,3,2}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1⋅3⋅2⋅1⋅2⋅1}\)

\(P_{10}^{2,3,2}= 151200\)

Permutação com repetição x permutação simples

A diferença entre a permutação com repetição e a permutação simples é que na permutação simples temos mais possibilidades de agrupamentos, pois ela não tem repetição.

A quantidade de números com três algarismos que podemos formar com os algarismos {1, 2, 2} é diferente da quantidade de números com três algarismos que podemos formar com os algarismos {1, 2, 3}.

Acontece que quando há repetição, a inversão de números repetidos não gera novos agrupamentos. Já na permutação sem repetição, a inversão dos números será um novo agrupamento, pois a ordem desses números importa.

Podemos perceber essa diferença entre permutação com repetição e permutação simples (sem repetição) com as fórmulas.

  • Fórmula da permutação simples: \(P_n=n!\)

  • Fórmula da permutação com repetição: \(P_n^{k_1,k_2,…k_i }=\frac{n!}{k_1 !⋅k_2 !⋅…⋅k_i !}\)

Saiba também: Combinação com repetição — a combinação em que os conjuntos formados admitem repetições de elementos

Exercícios resolvidos sobre permutação com repetição

Questão 1

O banco de Kárita pede para que ela crie uma senha formada só por números, com 6 algarismos. Para construir essa senha de forma que ela não esqueça, Kárita usará somente os algarismos existentes na data de nascimento do seu filho, sendo que ele nasceu no dia 24/08/20. Nessas condições, o número de senhas distintas que ela pode formar usando os 6 algarismos contidos na data de nascimento do seu filho é:

A) 120

B) 180

C) 360

D) 450

E) 720

Resolução:

Alternativa B

Para calcular o número de senhas possíveis, calcularemos a permutação com repetição, pois há algarismos que se repetem. Os algarismos são {2, 4, 0, 8, 0, 2}, então temos que n = 6. Além disso, o algarismo 0 se repete 2 vezes, e o algarismo 2 se repete 2 vezes, então, substituindo na fórmula da permutação com repetição, temos que:

\(P_6^{2,2}=\frac{6!}{2!2!}\)

\(P_6^{2,2}=\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1⋅2⋅1}\)

\(P_6^{2,2}=180\)

Questão 2

Durante um campeonato de vôlei, um time conseguiu 5 vitórias, 3 derrotas e 2 empates durante 10 partidas. De quantas maneiras distintas esse resultado pode ter ocorrido?

A) 3528800

B) 30240

C) 15200

D) 7560

E) 2520

Resolução:

Alternativa E

Queremos encontrar todas os reordenamentos possíveis para as 5 vitórias, as 3 derrotas e os 2 empates. Logo, temos uma permutação com repetição:

\(P_{10}^{5,3,2}=\frac{10!}{5!3!2!}\)

\(P_{10}^{5,3,2}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅3⋅2⋅1⋅2⋅1}\)

\(P_{10}^{5,3,2}=2520\)

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Raul Rodrigues de Oliveira Graduado em Matemática pela Universidade Federal de Goiás. Atua como professor do programa PIC Jr. (OBMEP) e como professor preceptor do programa Residência Pedagógica. Também é professor concursado da Seduc-GO, gestor escolar e produtor de conteúdo didático.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Permutação com repetição"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacao-com-elementos-repetidos.htm. Acesso em 20 de abril de 2024.

De estudante para estudante


Videoaulas


Lista de exercícios


Exercício 1

Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA. 

Exercício 2

Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.