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Combinação com repetição

Matemática

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Conhecemos como combinação com repetição quando, tendo um conjunto C com n elementos, formamos novos conjuntos, admitindo repetições com k elementos, todos pertencentes ao conjunto C. A combinação com repetição, conhecida também como combinação completa, é um tipo de agrupamento da análise combinatória.

O estudo desse tipo de agrupamento tornou possível o desenvolvimento de uma fórmula que facilita o cálculo da combinação com repetição. É possível relacionar a combinação com repetição a uma combinação simples por meio de uma fórmula. A diferença entre a combinação com repetição e a combinação simples, como o nome sugere, é que, na primeira, admite-se que os elementos se repitam no subconjunto, e na segunda, não.

Leia também: O que é arranjo com repetição?

O que é a combinação com repetição?

Em jogos de carta, a combinação com repetição é bastante presente.
Em jogos de carta, a combinação com repetição é bastante presente.

A combinação com repetição ou combinação completa é um entre os vários tipos de agrupamentos possíveis, estudados na análise combinatória. Em um conjunto com n elementos, encontraremos a quantidade de agrupamentos não ordenados que podemos formar com k elementos, todos pertencentes ao conjunto, sabendo que um mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez.

Veja uma situação que envolve uma combinação com repetição: dado um conjunto {A, B, C, D}, encontraremos todos os conjuntos possíveis com dois elementos.

Sabemos que, em um conjunto, a ordem dos elementos não é importante, ou seja, {A, B} e {B, A} formam um mesmo conjunto. Além disso, como é uma combinação com repetição, um mesmo elemento do conjunto pode se repetir, então, as combinações possíveis são:

{A, A}; {B, B}; {C, C}; {D, D}; {A, B}; {A, C}; {A, D}; {B, C}; {B, D}; {C, D}

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Fórmula da combinação com repetição

Em problemas matemáticos, muitas vezes, o interesse não está em listar todos os conjuntos possíveis, mas sim em calcular a quantidade de agrupamentos possíveis, seja para futuros cálculos de probabilidade, seja para gerar algum tipo de estatística, seja para outra aplicação. Para isso, utilizamos uma fórmula.

Em um conjunto com n elementos tomados de k em k, calculamos a combinação completa ou combinação com repetição por meio da fórmula:

CR: combinação com repetição

n: quantidade de elementos no conjunto
k: quantidade de elementos em cada reagrupamento

Outra fórmula importante para o cálculo da combinação com repetição é a que relaciona uma combinação simples com uma combinação com repetição:

Utilizamos essa fórmula para transformar combinação com repetição em uma combinação simples.

Passo a passo de como calcular o número de uma combinação com repetição

Para calcular a quantidade de combinações possíveis admitindo repetições, é necessário encontrar o valor do n e do k e substituir na fórmula.

Exemplo:

Utilizando o exemplo anterior do conjunto, {A, B, C, D}, para calcular a combinação com repetição desses termos tomados de 2 a 2, temos que:

1º Encontramos o valor de n e de k:

n = 4

k = 2

2º Substituímos na fórmula da combinação com repetição:

Veja também: Como calcular arranjo simples?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - A época que mais aquece o mercado de vendas de chocolate é a Páscoa, pensando nisso, uma fábrica de chocolate, no interior de Goiás, decidiu inovar na produção de chocolate criando sabores de ovos de Páscoa, com frutas do Cerrado como ingredientes. Os sabores criados foram chocolate meio amargo com bacupari-do-cerrado, chocolate ao leite com pera-do-campo, chocolate branco com murici, chocolate branco com baru, e chocolate amargo com buriti. Um cliente decidiu ir até essa loja para comprar 1 ovo de páscoa para cada um dos seus 3 irmãos. Sabendo disso, o número de maneiras distintas que esse cliente pode escolher esses ovos de Páscoa é:

A) 20

B) 22

C) 25

D) 32

E) 35

Resolução

Alternativa E

Note que a ordem, nesse caso, não é importante e também que o cliente pode optar por comprar 2 ou 3 ovos de páscoa do mesmo sabor, o que torna esse problema relativo à combinação com repetições.

Há cinco sabores disponíveis, e o cliente escolherá 3 ovos de páscoa, então, temos que:

n = 5

k = 3

Substituindo na fórmula da combinação com repetição, temos que:

Questão 2 - Uma loja oferece 3 sabores possíveis de sucos, são eles: laranja, limão e abacaxi. Sabendo disso, o número de maneiras distintas que um cliente pode pedir 4 sucos é:

A) 12

B) 15

C) 18

D) 20

E) 22

Resolução

Alternativa B

Há 3 sabores possíveis e suco, e formaremos conjuntos com 4 sabores, nesse caso, é evidente que o conjunto admite repetições, e que a ordem não é relevante, o que torna essa situação uma combinação com repetição. Para calcular, temos que:

n = 3

k = 4

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Combinação com repetição"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-com-repeticao.htm. Acesso em 15 de junho de 2021.

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