O que é anagrama?

Você sabe o que é anagrama? Anagrama é a permutação das letras de determinada palavra formando novas palavras que podem ou não fazer sentido na língua portuguesa. Os anagramas são estudados na análise combinatória, e podemos separar em dois casos: anagramas com repetição e anagramas sem repetição.

Leia também: Qual a diferença entre arranjo e combinação?

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre anagrama
• 2 - Como calcular anagramas?
  • → Como calcular anagramas sem repetição?
  • → Como calcular anagramas com repetição?
• 3 - Anagramas e permutação
• 4 - Benefícios de resolver anagramas

Resumo sobre anagrama

• Anagrama é a permutação de um conjunto de letras.
• Existem dois casos possíveis de anagrama, com repetição e sem repetição.
• Para calcular o total de anagramas sem repetição de uma palavra com n letras, basta calcular:

P = n!

• Para calcular o número de anagramas quando há repetição, a fórmula é:

\(P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_n!}\)

Como calcular anagramas?

Para calcular a quantidade de anagramas possíveis, temos dois casos distintos, anagramas sem repetição de letras e anagramas com repetição de letras. Em cada caso calculamos de uma maneira distinta.

→ Como calcular anagramas sem repetição?

Para calcular o total de anagramas de uma palavra sem repetição de letras, basta calcular a permutação dessas letras, ou seja, se há n letras, então teremos n! anagramas possíveis.

P = n!

• Exemplo 1:

Quantos anagramas temos com o nome RAUL?

Resolução:
Como o nome RAUL possui 4 letras, o total de anagramas possíveis é:

P = 4!

P = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

P = 24

Logo há 24 anagramas possíveis.

• Exemplo 2:

Quantos anagramas temos com o nome HEITOR?

Resolução:

Como o nome HEITOR possui 5 letras, calcularemos a permutação de 5 elementos:

P = 5!

P = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

P = 120

Então existem 120 anagramas distintos possíveis.

→ Como calcular anagramas com repetição?

Para calcular o total de anagramas de uma palavra quando há repetição de letras, a fórmula é:

\(P = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_n!}\)

Na fórmula, k é o número de vezes que cada letra se repete. Usamos essa fórmula porque quando há letras repetidas, o simples reordenamento geraria palavras iguais. Por exemplo, ao analisar alguns anagramas das letras AULA, sabemos que a letra A aparece duas vezes. Para exemplificar suponhamos que o primeiro A seja vermelho e o segundo, roxo. Então o anagrama AULA e o anagrama AULA descrevem o mesmo anagrama, assim como os anagramas AAUL e AALU, e assim sucessivamente.

• Exemplo 1:

Quantos anagramas temos com a palavra AULA?

Resolução:

Usando a fórmula, a quantidade de anagramas possíveis com a palavra AULA é calculada por:

\(P= \frac {4!}{2!}\)

Pois há 4 letras, sendo que o A se repete. Então, calculando, temos que:

\(P = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12\)

Há 12 anagramas possíveis para a palavra AULA.

• Exemplo 2:

Calcule a quantidade de anagramas possíveis com a palavra MATEMATICA.

Resolução:

Analisando a palavra, sabemos que:

M – repete 2 vezes
T – repete 2 vezes
A – repete 3 vezes

Além disso, sabemos que há 10 letras na palavra, assim temos que:

\(P = \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 2!}\)

\(P = \frac{3{.}628{.}800}{6 \cdot 2 \cdot 2} \)

\(P=151.200\)

Então há 151.200 anagramas possíveis com a palavra MATEMATICA.

• Exemplo 3:

Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?

Resolução:

A – repete 3 vezes
R – repete 2 vezes

São 5 letras, logo n = 5.

Substituindo os valores encontrados na fórmula, temos que:

\(P = \frac{5!}{3! \cdot 2!}\)

\(P = \frac{120}{6 \cdot 2} \)

\(P = 10\)

Há 10 anagramas possíveis com o nome ARARA.

Anagramas e permutação

Conhecemos como permutação o reordenamento dos elementos de determinado conjunto. Sendo assim, o anagrama nada mais é que um caso particular de permutação, pois quando o conjunto é formado por letras, essa permutação das letras pode ser conhecida também como anagrama.

• Exemplo 1:

A seguir, listaremos todos os anagramas possíveis da palavra AMO:

AMO

AOM

MAO

MOA

OAM

OMA

• Exemplo 2:

A seguir, listaremos todos os anagramas possíveis do nome RAUL:

RAUL                        ARUL                        UARL                        LRAU
RALU                        ARLU                        UALR                        LRUA
RUAL                        ALRU                        ULAR                        LUAR
RULA                        ALUR                        ULRA                        LURA
RLAU                        AULR                        URLA                        LARU
RLUA                        AURL                        URAL                        LAUR

Em resolução de problemas da análise combinatória, é mais comum querer calcular quantos anagramas possíveis temos, cujas formas de calcular explicamos no tópico anterior, do que listar esses anagramas.

Para saber mais detalhes sobre a permutação, clique aqui.

Benefícios de resolver anagramas

Estudar anagramas na matemática pode parecer, à primeira vista, uma atividade relacionada mais à linguística do que à matemática. No entanto, há vários benefícios matemáticos e cognitivos associados ao estudo de anagramas, como o desenvolvimento de habilidades combinatórias, pois estudar anagramas permite-nos entender e aplicar conceitos de combinatória.

O estudo do anagrama também nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio lógico, pois resolver anagramas pode exigir que se pense de maneira lógica, semelhantemente à resolução de problemas matemáticos. A busca por todas as possíveis combinações de letras de uma palavra e a identificação de padrões é um exercício de raciocínio algorítmico.

Fonte

LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo C. P.; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto C. A Matemática do Ensino Médio. vol. 1. Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2012.