A combinação simples é um entre os agrupamentos estudados na análise combinatória. Conhecemos como combinação a contagem de todos os subconjuntos de k elementos que podemos formar de um conjunto de n elementos.
É bastante comum ver situações em que utilizamos a combinação, por exemplo, para calcular todos os resultados possíveis em jogos de loteria ou em jogos de poker, e em outras situações, como no estudo da probabilidade e da estatística.
Outro agrupamento bastante comum é o arranjo. O que diferencia o arranjo da combinação é o fato de que, no arranjo, a ordem dos elementos é importante, e na combinação, a ordem não é importante. Por isso, comparamos a combinação com a escolha de subconjuntos.
Leia também: Princípio fundamental da contagem – utilizado para quantificar as possibilidades
Na análise combinatória, estuda-se a quantidade de agrupamentos possíveis. Entre esses agrupamentos, existe o conhecido como combinação simples. A combinação simples nada mais é que a contagem de todos os subconjuntos com k elementos de um determinado conjunto, por exemplo: a megassena, em que há um sorteio de 6 números de forma aleatória.
Nesse caso, é possível perceber que a ordem em que esses 6 números foram escolhidos não faz diferença, ou seja, a ordem não importa, o que torna esse resultado um subconjunto. Essa característica é fundamental para compreender-se o que é uma combinação e diferenciá-la dos demais agrupamentos — na combinação, a ordem dos elementos do conjunto não importa.
Os problemas envolvendo combinação são calculados por uma fórmula. A combinação de n elementos tomados de k em k é:
n → total de elementos no conjunto
k → total de elementos no subconjunto
Veja também: Princípio aditivo da contagem – união dos elementos de dois ou mais conjuntos
Em primeiro lugar, é importante saber identificar quando um problema é uma combinação. Para exemplificar, encontre todas as combinações possíveis do conjunto {A, B, C, D} com dois elementos:
Listando as combinações com dois elementos, são elas: {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D} e {C,D}. Nesse caso é possível ver que há 6 combinações possíveis, e vale ressaltar também que os subconjuntos {A,B} e {B,A} são iguais, pois, na combinação, a ordem não é importante.
Acontece que nem sempre é possível listar todas as combinações possíveis ou até mesmo não é necessário, pois o interesse maior está na quantidade de combinações e não na listagem de cada uma delas. Para isso, é bastante prático o uso da fórmula.
Uma escola fará um sorteio de três ingressos, um para cada aluno, entre os 10 primeiros colocados na olimpíada de matemática. Após a realização da prova e conhecendo os 10 primeiros colocados, calcule as combinações possíveis para o resultado do sorteio.
Note que, no resultado do sorteio, a ordem não é importante, logo, estamos trabalhando com um problema de combinação.
Calcularemos, então, a combinação de 10 elementos tomados de 3 em 3. Substituindo na fórmula, temos que:
Agora vamos realizar a simplificação dos fatoriais. Nesse momento, é essencial que se domine o cálculo do fatorial de um número. Como 10! é maior que qualquer um dos fatoriais no denominador, e, analisando o denominador, 7! é o maior deles, vamos realizar a multiplicação de 10 pelos seus antecessores até chegar em 7!, para que seja possível simplificar.
Um dos instrumentos bastante utilizados na análise combinatória, principalmente para calcular um binômio de Newton, é o triângulo de Pascal. Esse triângulo é construído dos resultados das combinações, uma outra forma de representar a combinação de dois números é a seguinte:
O triângulo de Pascal começa na linha 0 e coluna 0, pela combinação de 0 elementos tomados de 0 em 0. As linhas são iguais a n, e as colunas iguais a k, formando a seguinte figura:
Substituindo pelos valores que são resultados das combinações:
Por meio das linhas e colunas do triângulo de Pascal, é possível encontrar o valor da combinação que desejarmos. Caso necessário, podemos encontrar os termos de quantas linhas forem necessárias. Para saber mais sobre esse método de resolução, leia o texto: Triângulo de Pascal.
O arranjo e a combinação são dois agrupamentos igualmente importantes estudados na análise combinatória. É fundamental saber a diferença entre cada um desses agrupamentos, ou seja, se vamos calculá-los por um arranjo ou uma combinação.
Acontece que, na combinação, ao montar os agrupamentos, a ordem dos elementos do conjunto não é importante, ou seja {A,B} = {B,A}, porém existem casos em que a ordem é importante no agrupamento, nesse caso estamos trabalhando com um arranjo.
No arranjo, então, a ordem dos elementos é diferente, ou seja, {A,B} ≠ {B,A}, um exemplo de arranjo bastante comum seria calcular de quantas maneiras distintas podemos formar o pódio de uma determinada competição entre 10 pessoas. Note que, nesse exemplo, a ordem é importante, o que o torna resolvível pela fórmula de arranjo. Além da definição teórica, as fórmulas são diferentes, e a fórmula do arranjo é:
Questão 1 – (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
D) duas combinações.
E) dois arranjos.
Resolução
Alternativa A
Para diferenciar arranjo e combinação, é necessário analisar se a ordem importa no agrupamento ou não. Note que, no primeiro agrupamento, a ordem é irrelevante, pois o Grupo A é formado pelos 4 times sorteados independentemente da ordem, ou seja, há, primeiro, uma combinação.
Analisando o segundo agrupamento, é possível perceber que nele a ordem importa, pois o primeiro time a ser sorteado terá o mando de campo, o que torna esse agrupamento um arranjo.
Dessa forma, a ordem é uma combinação e um arranjo.
Questão 2 – Uma família composta por 7 pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis estão em branco.
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por:
Resolução
Alternativa B. Analisando a situação, note que a ordem, ou seja, qual membro da família sentará em qual cadeira, não é relevante. O que interessa são as 7 poltronas escolhidas pela família. Sendo assim, estamos trabalhando com uma combinação. Há 9 poltronas livres, e 7 serão escolhidas. então, vamos calcular a combinação de 9 para 7. Substituindo na fórmula, temos que:
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Combinação simples"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/combinacao-simples.htm. Acesso em 03 de março de 2021.
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