Os vetores são segmentos de reta responsáveis por caracterizar grandezas físicas vetoriais, tais como força, velocidade, aceleração e distância. Tratam dos módulos, dados pelo seu tamanho, e das suas orientações, dadas pela sua direção e sentido. Os vetores podem ser classificados em iguais, nulos, perpendiculares, oblíquos, opostos, unitários e resultantes.
Os vetores são caracterizados pelo seu módulo, direção e sentido.
O vetor resultante é o vetor que resulta das operações vetoriais.
As operações com vetores envolvem suas adições, subtrações e multiplicações por um número real.
Os vetores perpendiculares são calculados por meio do teorema de Pitágoras.
Os vetores oblíquos são calculados por meio da lei dos cossenos e orientados pela regra do paralelogramo.
Os vetores podem ser decompostos na sua componente horizontal em x e na sua componente vertical em y.
Videoaula sobre vetores
Características dos vetores
Os vetores são representados por uma letra com uma seta acima — por exemplo, →v, →s e →a — e caracterizados pelo seu módulo e orientação, dados pela sua direção e sentido.
Módulo de um vetor
O módulo, comumentemente chamado de intensidade ou valor numérico, diz respeito ao tamanho da grandeza vetorial, sendo representado por |→v| ou apenas v.
Direção de um vetor
A direção informa a posição do vetor, podendo ser horizontal, vertical e diagonal.
Sentido de um vetor
O sentido informa a posição na qual a ponta do vetor está apontando, podendo ser direita, esquerda, para cima, para baixo, leste, norte, sul, oeste, nordeste, noroeste, sudeste, sudoeste etc.
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Tipos de vetores
Os vetores podem ser tipificados como vetores iguais, vetores nulos, vetores opostos e vetores unitários.
Vetores iguais
Os vetores iguais são aqueles que apresentam a mesma direção, sentido e módulo, como podemos ver na imagem abaixo:
O vetor →a é igual ao vetor →b.
Vetores opostos
Os vetores opostos são aqueles que apresentam sentidos opostos, sendo representados por um sinal negativo na frente do símbolo do vetor.
O vetor −→a é o vetor oposto de →a.
Vetores perpendiculares
Os vetores perpendiculares são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo de 90°.
Vetores oblíquos
Os vetores oblíquos são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo diferente de 0°, 90° e 180°.
Vetores nulos
Os vetores nulos são aqueles que apresentam módulo igual a zero e direção e sentido indeterminados. São representados geometricamente por apenas um ponto e escrito como→0.
Vetores unitários
Os vetores unitários são aqueles que apresentam módulo igual a 1.
Vetores resultantes
O vetor resultante é aquele que resulta das operações com vetores. Para determiná-lo com exatidão, é essencial levar em consideração o módulo, direção e sentido dos vetores utilizados na operação vetorial.
As operações com vetores são operações algébricas realizadas por meio do módulo, direção e sentido dos vetores, sendo elas descritas abaixo:
Adição de vetores
A adição de vetores é o somatório dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores que obrigatoriamente estão no mesmo sentido e direção.
Exemplo: Determine o vetor resultante da adição dos vetores →a e →b, com tamanho de 1 unidade e de 4 unidades, respectivamente, com suas orientações descritas na imagem abaixo:
O vetor resultante da adição dos vetores →a e →b possui direção horizontal e sentido para a direita. Já seu tamanho é calculado por meio do somatório dos tamanhos dos vetores →a e →b:
vetorresultante=→a+→b
vetorresultante=1+4
vetorresultante=5u
A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a direita e o tamanho do vetor resultante é de 5 unidades.
Subtração de vetores
A subtração de vetores é a diferença dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores. Eles precisam, obrigatoriamente, ter a mesma direção e sentido oposto.
Exemplo: Determine o vetor resultante da subtração dos vetores →a e →b, com tamanhos de 2 unidades e de 3 unidades, respectivamente, com suas orientações descritas na imagem abaixo:
O vetor resultante da subtração dos vetores →a e →b possui direção horizontal e sentido para a esquerda, sendo no mesmo sentido que o vetor com maior tamanho. Já seu tamanho é calculado por meio da subtração dos tamanhos dos vetores →a e →b:
vetorresultante=→a−→b
vetorresultante=2−3
vetorresultante=−1u
A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a esquerda, e o tamanho do vetor resultante é de 1 unidade. O sinal negativo significa que ele está contrário ao sentido do vetor →a.
Produto de um número real por um vetor
O produto de um número real por um vetor gera um vetor novo, com mesma direção e sentido para o caso de o número real ser positivo e mesma direção e sentido oposto para o caso de o número real ser negativo. Seu módulo é o resultado do produto entre o número real n e o vetor →v, conforme descrito na fórmula abaixo:
vnovo=n⋅→v
Exemplo: Determine o vetor resultante da multiplicação do número real 10 pelo vetor →a com módulo de 15 unidades e orientação sudoeste.
Nesse caso, a direção e o sentido do vetor permanecem os mesmos — diagonal e sudoeste, respectivamente. Já o módulo é calculado por meio da fórmula abaixo:
vnovo=n⋅→v
vnovo=10⋅15
vnovo=150u
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é sudoeste, e o módulo do vetor novo é de 150 unidades.
Vetores perpendicualres: regra do paralelogramo e o teorema de Pitágoras
Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores →a e →b, com tamanhos de 3 unidades e de 5 unidades, respectivamente, e com suas orientações descritas na imagem abaixo:
Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos a regra do paralelogramo, que consiste primeiramente em unir os dois vetores pela sua origem, conforme desenhado abaixo:
Depois, traçaremos pontilhados do mesmo tamanho dos vetores, conforme desenhado abaixo:
Em seguida, traçaremos uma linha diagonal, unindo a ponta da origem dos vetores até o ponto em que suas setas se encontram. Essa linha corresponde ao vetor resultante →r entre esses dois vetores, como desenhado abaixo:
Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio do teorema de Pitágoras, dado pela fórmula:
hipotenusa2=cateto21+cateto22
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante →r, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:
r2=a2+b2
r2=32+52
r2=9+25
r2=34
r=√34
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de √34 unidades.
Vetores oblíquos: regra do paralelogramo e lei dos cossenos
Nos vetores oblíquos, a direção e sentido são dados por meio da regra do paralelogramo e o módulo é calculado por meio da lei dos cossenos, com a sua fórmula:
Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores →a e →b, com tamanhos de 4 unidades e de 7 unidades, respectivamente, sabendo que o ângulo formado entre eles é 60° e suas orientações estão descritas na imagem abaixo:
Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos também a regra do paralelogramo, como explicada no exemplo anterior, resultando na imagem abaixo:
Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante →r, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:
r2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cosθ
r2=42+72−2⋅4⋅7⋅cos60°
r2=16+49−56⋅0,5
r2=16+49−28
r2=37
r=√37
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é para a direita, e o tamanho do vetor resultante é √37 unidades.
Vetor resultante de vários vetores
O vetor resultante de vários vetores é dado por meio da união das origens dos vetores e calculado pelo vetor resultante de dois em dois vetores, utilizando as operações de adição ou subtração, o teorema de Pitágoras ou a lei dos cossenos.
Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores →a, →b e →c, com tamanhos de 3, 4 e 5 unidades, respectivamente, sabendo que o ângulo formado entre →a e →b é de 60°, o ângulo formado entre o vetor resultante entre os vetores →a e →b com o vetor →c é de 30° e suas orientações estão descritas na imagem abaixo:
Primeiramente, vamos unir as origens dos vetores, como na imagem abaixo:
Depois, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores →a e →b, chamado-o de vetor →v, por meio da regra do paralelogramo, como na imagem abaixo:
Já o módulo do vetor resultante→v é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante →v, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:
v2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos60°
v2=32+42−2⋅3⋅4⋅0,5
v2=9+16−24⋅0,5
v2=9+16−12
v2=13
v=√13u
Em seguida, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores →v e →c, chamado-o de vetor →r, por meio da regra do paralelogramo, como na imagem abaixo:
Já o módulo do vetor resultante→r é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:
A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante →r, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:
r2=v2+c2−2⋅v⋅c⋅cos30°
r2=13+25−5⋅√39
r2≅13+25−5⋅6,24
r2≅38−31,22
r2≅6,77
r≅2,6u
A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é leste-nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de aproximadamente 2,6 unidades.
Para saber mais sobre as operações com vetores e conferir mais exemplos, clique aqui.
Decomposição vetorial
A decomposição vetorial é a fragmentação de um vetor em sua componente horizontal xe componente vertical y. O cálculo pode ser feito por meio das fórmulas abaixo:
ax=a⋅cosθ
- ax é o módulo da componente horizontal do vetor →a.
- a é o módulo do vetor →a.
- cosθ é o cosseno do ângulo formado entre o vetor a e a sua componente horizontal →ax.
ay=a⋅sinθ
- ay é o módulo da componente vertical do vetor →a.
- a é o módulo do vetor →a.
- sinθ é o seno do ângulo formado entre o vetor →a e a sua componente horizontal →ax.
Exemplo: Encontre e calcule a componente horizontal e a componente vertical do vetor →a com orientação nordeste e módulo de 5 unidades, sabendo que o ângulo formado entre ele e a sua componente horizontal é de 30°.
Primeiramente, desenharemos o vetor →a:
Então, vamos decompô-lo em suas componentes x e y da seguinte forma:
Depois, calcularemos a componente horizontal, por meio da sua fórmula:
ax=a⋅cosθ
ax=5⋅cos30°
ax=5⋅√22
ax=2,5√2u
Por fim, calcularemos a componente vertical, por meio da sua fórmula:
ay=a⋅sinθ
Exercícios resolvidos sobre decomposição vetorial
Questão 1
(UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:
a) escalar
b) algébrica
c) linear
d) vetorial
e) n.d.a.
Resolução:
Alternativa D. Toda grandeza que necessita de orientação, além da intensidade, é chamada de grandeza vetorial.
Questão 2
(Fesp) Em um corpo estão aplicadas apenas duas forças, de intensidades 12 N e 8,0 N. Uma possível intensidade da resultante será:
a) 22 N
b) 3,0 N
c) 10 N
d) zero
e) 21 N
Resolução:
Alternativa C. Como não nos foi informada a orientação dos vetores, a intensidade do vetor resultante pode ser dada pelas operações de dois vetores. Então, primeiramente calcularemos utilizando a adição de vetores:
→v+→u=12+8=20N
Em seguida, calcularemos a subtração de vetores:
→v−→u=12−8=4
Depois, consideraremos os vetores como perpendiculares e os calcularemos com o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2=cateto21+cateto22
vetorresultante2=122+82
vetorresultante2=144+64
vetorresultante2=208
vetorresultante=√208
vetorresultante≅14,42
Por fim, consideraremos os vetores como oblíquos e os calcularemos por meio da regra do paralelogramo:
Não temos o ângulo, mas sabemos que o menor valor e o maior valor do cosseno de um ângulo são -1 e 1, respectivamente, então realizaremos um cálculo para cada um desses valores:
Cosseno do ângulo 1:
vetorresultante2=144+64−2⋅12⋅8⋅1
vetorresultante2=144+64−192
vetorresultante2=16
vetorresultante=√16
vetorresultante=4
Cosseno do ângulo -1:
vetorresultante2=144+64−2⋅12⋅8⋅(−1)
vetorresultante2=400
vetorresultante=√400
vetorresultante=20
Os valores possíveis de intensidade resultante são 4, 14, 42 e 20, então uma possível intensidade da resultante está entre 4 e 20, sendo 10.
Por Pâmella Raphaella Melo
Professora de Física
Escrito por: Pâmella Raphaella Melo Sou uma autora e professora que preza pela simplificação de conceitos físicos, transportando-os para o cotidiano dos estudantes e entusiastas. Sou formada em Licenciatura Plena em Física pela PUC- GO e atualmente curso Engenharia Ambiental e Sanitária pela UFG.
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
MELO, Pâmella Raphaella.
"O que são vetores?"; Brasil Escola.
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-sao-vetores.htm. Acesso em 19 de fevereiro
de 2025.