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O que são vetores?

Vetores são um artifício matemático utilizado para informar o módulo, direção e sentido das grandezas físicas vetoriais, como velocidade e aceleração.

Diversos tipos de representação de vetores
As setas servem de representação para os vetores.
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Os vetores são segmentos de reta responsáveis por caracterizar grandezas físicas vetoriais, tais como força, velocidade, aceleração e distância. Tratam dos módulos, dados pelo seu tamanho, e das suas orientações, dadas pela sua direção e sentido. Os vetores podem ser classificados em iguais, nulos, perpendiculares, oblíquos, opostos, unitários e resultantes.

Leia também: Quais são as grandezas da Física?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre vetores

  • Os vetores são caracterizados pelo seu módulo, direção e sentido.

  • O vetor resultante é o vetor que resulta das operações vetoriais.

  • As operações com vetores envolvem suas adições, subtrações e multiplicações por um número real.

  • Os vetores perpendiculares são calculados por meio do teorema de Pitágoras.

  • Os vetores oblíquos são calculados por meio da lei dos cossenos e orientados pela regra do paralelogramo.

  • Os vetores podem ser decompostos na sua componente horizontal em x e na sua componente vertical em y.

Videoaula sobre vetores

Características dos vetores

Os vetores são representados por uma letra com uma seta acima — por exemplo, \(\vec{v}\), \(\vec{s}\) e \(\vec{a}\) — e caracterizados pelo seu módulo e orientação, dados pela sua direção e sentido.

  • Módulo de um vetor

O módulo, comumentemente chamado de intensidade ou valor numérico, diz respeito ao tamanho da grandeza vetorial, sendo representado por \(|\vec{v} |\) ou apenas v.

  • Direção de um vetor

A direção informa a posição do vetor, podendo ser horizontal, vertical e diagonal.

  • Sentido de um vetor

O sentido informa a posição na qual a ponta do vetor está apontando, podendo ser direita, esquerda, para cima, para baixo, leste, norte, sul, oeste, nordeste, noroeste, sudeste, sudoeste etc.

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Tipos de vetores

Os vetores podem ser tipificados como vetores iguais, vetores nulos, vetores opostos e vetores unitários.

  • Vetores iguais

Os vetores iguais são aqueles que apresentam a mesma direção, sentido e módulo, como podemos ver na imagem abaixo:

 O vetor \(\vec{a}\) é igual ao vetor \(\vec{b}\).
  • Vetores opostos

Os vetores opostos são aqueles que apresentam sentidos opostos, sendo representados por um sinal negativo na frente do símbolo do vetor.

Representação de vetores opostos.
 O vetor \(-\vec{a}\) é o vetor oposto de \(\vec{a}\).
  • Vetores perpendiculares

Os vetores perpendiculares são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo de 90°.

Representação de vetores perpendiculares.

  • Vetores oblíquos

Os vetores oblíquos são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo diferente de 0°, 90° e 180°.

Representação de vetores oblíquos.

  • Vetores nulos

Os vetores nulos são aqueles que apresentam módulo igual a zero e direção e sentido indeterminados. São representados geometricamente por apenas um ponto e escrito como \(\vec{0}\).

Representação de vetores nulos.

  • Vetores unitários

Os vetores unitários são aqueles que apresentam módulo igual a 1.

  • Vetores resultantes

O vetor resultante é aquele que resulta das operações com vetores. Para determiná-lo com exatidão, é essencial levar em consideração o módulo, direção e sentido dos vetores utilizados na operação vetorial.

Leia também: Diferenças entre grandezas escalares e vetoriais

Operações com vetores

As operações com vetores são operações algébricas realizadas por meio do módulo, direção e sentido dos vetores, sendo elas descritas abaixo:

  • Adição de vetores

A adição de vetores é o somatório dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores que obrigatoriamente estão no mesmo sentido e direção.

Exemplo: Determine o vetor resultante da adição dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), com tamanho de 1 unidade e de 4 unidades, respectivamente, com suas orientações descritas na imagem abaixo:

 Vetores a e b, com tamanhos de 1 unidade e de 4 unidades.

O vetor resultante da adição dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) possui direção horizontal e sentido para a direita. Já seu tamanho é calculado por meio do somatório dos tamanhos dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\):

\(vetor\ resultante= \vec{a}+ \vec{b}\)

\(vetor\ resultante= 1+4\)

\(vetor\ resultante=5 u\)

A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a direita e o tamanho do vetor resultante é de 5 unidades.

  • Subtração de vetores

A subtração de vetores é a diferença dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores. Eles precisam, obrigatoriamente, ter a mesma direção e sentido oposto.

Exemplo: Determine o vetor resultante da subtração dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), com tamanhos de 2 unidades e de 3 unidades, respectivamente, com suas orientações descritas na imagem abaixo:

 Vetores a e b, com com tamanhos de 2 e 3 unidades.

O vetor resultante da subtração dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) possui direção horizontal e sentido para a esquerda, sendo no mesmo sentido que o vetor com maior tamanho. Já seu tamanho é calculado por meio da subtração dos tamanhos dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\):

\(vetor\ resultante= \vec{a}- \vec{b}\)

\(vetor\ resultante=2-3\)

\(vetor\ resultante=-1\ u\)

A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a esquerda, e o tamanho do vetor resultante é de 1 unidade. O sinal negativo significa que ele está contrário ao sentido do vetor \(\vec{a}\).

  • Produto de um número real por um vetor

O produto de um número real por um vetor gera um vetor novo, com mesma direção e sentido para o caso de o número real ser positivo e mesma direção e sentido oposto para o caso de o número real ser negativo. Seu módulo é o resultado do produto entre o número real n e o vetor \(\vec{v}\), conforme descrito na fórmula abaixo:

\(v_{novo}=n\cdot \vec{v}\)

Exemplo: Determine o vetor resultante da multiplicação do número real 10 pelo vetor \(\vec{a}\) com módulo de 15 unidades e orientação sudoeste.

Nesse caso, a direção e o sentido do vetor permanecem os mesmos — diagonal e sudoeste, respectivamente. Já o módulo é calculado por meio da fórmula abaixo:

\(v_{novo}=n\cdot \vec{v}\)

\(v_{novo}=10\cdot 15\)

\(v_{novo}=150\ u\)

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é sudoeste, e o módulo do vetor novo é de 150 unidades.

  • Vetores perpendicualres: regra do paralelogramo e o teorema de Pitágoras

Nos vetores perpendiculares, o módulo é calculado por meio do teorema de Pitágoras, com a sua equação:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2\)

Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), com tamanhos de 3 unidades e de 5 unidades, respectivamente, e com suas orientações descritas na imagem abaixo:

Vetor a voltado para cima; vetor b voltado para a direita.

Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos a regra do paralelogramo, que consiste primeiramente em unir os dois vetores pela sua origem, conforme desenhado abaixo:

União de vetores a e b pela origem

Depois, traçaremos pontilhados do mesmo tamanho dos vetores, conforme desenhado abaixo:

União de vetores a e b pela origem com traçado pontilhado ligando-os.

Em seguida, traçaremos uma linha diagonal, unindo a ponta da origem dos vetores até o ponto em que suas setas se encontram. Essa linha corresponde ao vetor resultante \(\vec{r}\) entre esses dois vetores, como desenhado abaixo:

União de vetores a e b pela origem com vetor resultante traçado na diagonal

Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio do teorema de Pitágoras, dado pela fórmula:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2\)

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante \(\vec{r}\), e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

\(r^2=a^2+b^2\)

\(r^2=3^2+5^2\)

\(r^2=9+25\)

\(r^2=34\)

\(r=\sqrt{34}\)

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de \(\sqrt{34}\) unidades.

  • Vetores oblíquos: regra do paralelogramo e lei dos cossenos

Nos vetores oblíquos, a direção e sentido são dados por meio da regra do paralelogramo e o módulo é calculado por meio da lei dos cossenos, com a sua fórmula:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2-2\cdot cateto_1\cdot cateto_2\cdot cos \theta \)

Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), com tamanhos de 4 unidades e de 7 unidades, respectivamente, sabendo que o ângulo formado entre eles é 60° e suas orientações estão descritas na imagem abaixo:

Representação dos vetores A e B

Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos também a regra do paralelogramo, como explicada no exemplo anterior, resultando na imagem abaixo:

Aplicação da regra do paralelogramo em vetores A e B

Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2-2cateto_1\cdot cateto_2\cdot cos \theta \)

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante \(\vec{r}\), e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

\(r^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos \theta \)

\(r^2=4^2+7^2-2\cdot 4\cdot 7\cdot cos\ 60°\)

\(r^2=16+49-56\cdot 0,5\)

\(r^2=16+49-28\)

\(r^2=37\)

\(r=\sqrt{37}\)

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é para a direita, e o tamanho do vetor resultante é \(\sqrt{37}\) unidades.

  • Vetor resultante de vários vetores

O vetor resultante de vários vetores é dado por meio da união das origens dos vetores e calculado pelo vetor resultante de dois em dois vetores, utilizando as operações de adição ou subtração, o teorema de Pitágoras ou a lei dos cossenos.

Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) e \(\vec{c}\), com tamanhos de 3, 4 e 5 unidades, respectivamente, sabendo que o ângulo formado entre \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) é de 60°, o ângulo formado entre o vetor resultante entre os vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) com o vetor \(\vec{c}\) é de 30° e suas orientações estão descritas na imagem abaixo:

Representação dos vetores A, B e C

Primeiramente, vamos unir as origens dos vetores, como na imagem abaixo:

Representação da união dos vetores A, B e C

Depois, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), chamado-o de vetor \(\vec{v}\), por meio da regra do paralelogramo, como na imagem abaixo:

Aplicação da regra do paralelogramo nos vetores A e B

Já o módulo do vetor resultante \(\vec{v}\) é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2-2\cdot cateto_1\cdot cateto_2\cdot cos \theta \)

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante \(\vec{v}\), e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

\(v^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot cos\ 60°\)

\(v^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot 0,5\)

\(v^2=9+16-24\cdot 0,5\)

\(v^2=9+16-12\)

\(v^2=13\)

\(v=\sqrt{13}\ u\)

Em seguida, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores \(\vec{v}\) e \(\vec{c}\), chamado-o de vetor \(\vec{r}\), por meio da regra do paralelogramo, como na imagem abaixo:

Determinação do vetor resultante entre os vetores V e C

Já o módulo do vetor resultante \(\vec{r}\) é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2-2\cdot cateto_1\cdot cateto_2\cdot cos \theta \)

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante \(\vec{r}\), e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

\(r^2=v^2+c^2-2\cdot v\cdot c\cdot cos\ 30°\)

\(r^2=13+25-5\cdot \sqrt{39}\)

\(r^2\cong 13+25-5\cdot 6,24\)

\(r^2\cong 38-31,22\)

\(r^2\cong 6,77\)

\(r\cong 2,6\ u\)

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é leste-nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de aproximadamente 2,6 unidades.

Para saber mais sobre as operações com vetores e conferir mais exemplos, clique aqui.

Decomposição vetorial

A decomposição vetorial é a fragmentação de um vetor em sua componente horizontal x e componente vertical y. O cálculo pode ser feito por meio das fórmulas abaixo:

\(a_x=a\cdot cos \theta \)

- \(a_x\) é o módulo da componente horizontal do vetor \(\vec{a}\).

- a é o módulo do vetor \(\vec{a}\).

- \(cos \theta \)  é o cosseno do ângulo formado entre o vetor a  e a sua componente horizontal \(\vec{a_x}\).

\(a_y=a\cdot sin \theta \)

- \(a_y \) é o módulo da componente vertical do vetor \(\vec{a}\).

- a é o módulo do vetor \(\vec{a}\).

- \(sin \theta \) é o seno do ângulo formado entre o vetor \(\vec{a}\) e a sua componente horizontal \(\vec{a_x}\).

Exemplo: Encontre e calcule a componente horizontal e a componente vertical do vetor \(\vec{a}\) com orientação nordeste e módulo de 5 unidades, sabendo que o ângulo formado entre ele e a sua componente horizontal é de 30°.

Primeiramente, desenharemos o vetor \(\vec{a}\):

Vetor A

Então, vamos decompô-lo em suas componentes x e y da seguinte forma:

Decomposição do vetor A nas suas componentes x e y

Depois, calcularemos a componente horizontal, por meio da sua fórmula:

\(a_x=a\cdot cos \theta \)

\(a_x=5\cdot cos\ 30°\)

\(a_x=5\cdot \frac{\sqrt{2}}2\)

\(a_x=2,5\sqrt{2}\ u\)

Por fim, calcularemos a componente vertical, por meio da sua fórmula:

\(a_y=a\cdot sin \theta \)

Exercícios resolvidos sobre decomposição vetorial

Questão 1

(UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:

a) escalar

b) algébrica

c) linear

d) vetorial

e) n.d.a.

Resolução:

Alternativa D. Toda grandeza que necessita de orientação, além da intensidade, é chamada de grandeza vetorial.

Questão 2

(Fesp) Em um corpo estão aplicadas apenas duas forças, de intensidades 12 N e 8,0  N. Uma possível intensidade da resultante será:

a) 22 N

b) 3,0 N

c) 10 N

d) zero

e) 21 N

Resolução:

Alternativa C. Como não nos foi informada a orientação dos vetores, a intensidade do vetor resultante pode ser dada pelas operações de dois vetores. Então, primeiramente calcularemos utilizando a adição de vetores:

\(\vec{v}+\vec{u}=12+8=20\ N\)

Em seguida, calcularemos a subtração de vetores:

\(\vec{v}-\vec{u}=12-8=4\)

Depois, consideraremos os vetores como perpendiculares e os calcularemos com o teorema de Pitágoras:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2\)

\(vetor\ resultante^2=12^2+8^2\)

\(vetor\ resultante^2=144+64\)

\(vetor\ resultante^2=208\)

\(vetor\ resultante=\sqrt{208}\)

\(vetor\ resultante\cong 14,42\)

Por fim, consideraremos os vetores como oblíquos e os calcularemos por meio da regra do paralelogramo:

\(hipotenusa^2=cateto_1^2+cateto_2^2-2\cdot cateto_1\cdot cateto_2\cdot cos \theta \)

\(vetor\ resultante^2=12^2+8^2-2\cdot 12\cdot 8\cdot cos \theta \)

Não temos o ângulo, mas sabemos que o menor valor e o maior valor do cosseno de um ângulo são -1 e 1, respectivamente, então realizaremos um cálculo para cada um desses valores:

Cosseno do ângulo 1:

\(vetor\ resultante^2=144+64-2\cdot 12\cdot 8\cdot 1\)

\(vetor\ resultante^2=144+64-192\)

\(vetor\ resultante^2=16\)

\(vetor\ resultante=\sqrt{16}\)

\(vetor\ resultante=4\)

Cosseno do ângulo -1:

\(vetor\ resultante^2=144+64-2\cdot 12\cdot 8\cdot (-1)\)

\(vetor\ resultante^2=400\)

\(vetor\ resultante=\sqrt{400}\)

\(vetor\ resultante=20\)

Os valores possíveis de intensidade resultante são 4, 14, 42 e 20, então uma possível intensidade da resultante está entre 4 e 20, sendo 10.

 

Por Pâmella Raphaella Melo
Professora de Física

Escritor do artigo
Escrito por: Pâmella Raphaella Melo Sou uma autora e professora que preza pela simplificação de conceitos físicos, transportando-os para o cotidiano dos estudantes e entusiastas. Sou formada em Licenciatura Plena em Física pela PUC- GO e atualmente curso Engenharia Ambiental e Sanitária pela UFG.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

MELO, Pâmella Raphaella. "O que são vetores?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-sao-vetores.htm. Acesso em 15 de julho de 2024.

De estudante para estudante


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