UOL - O melhor conteúdo
Whatsapp icon Whatsapp
Copy icon

O que são vetores?

Vetores são um artifício matemático utilizado para informar o módulo, direção e sentido das grandezas físicas vetoriais, como velocidade e aceleração.

Diversos tipos de representação de vetores
As setas servem de representação para os vetores.
Imprimir
Texto:
A+
A-

PUBLICIDADE

Adicionar aos favoritos

Os vetores são segmentos de reta responsáveis por caracterizar grandezas físicas vetoriais, tais como força, velocidade, aceleração e distância. Tratam dos módulos, dados pelo seu tamanho, e das suas orientações, dadas pela sua direção e sentido. Os vetores podem ser classificados em iguais, nulos, perpendiculares, oblíquos, opostos, unitários e resultantes.

Leia também: Quais são as grandezas da Física?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre vetores

  • Os vetores são caracterizados pelo seu módulo, direção e sentido.

  • O vetor resultante é o vetor que resulta das operações vetoriais.

  • As operações com vetores envolvem suas adições, subtrações e multiplicações por um número real.

  • Os vetores perpendiculares são calculados por meio do teorema de Pitágoras.

  • Os vetores oblíquos são calculados por meio da lei dos cossenos e orientados pela regra do paralelogramo.

  • Os vetores podem ser decompostos na sua componente horizontal em x e na sua componente vertical em y.

Videoaula sobre vetores

Características dos vetores

Os vetores são representados por uma letra com uma seta acima — por exemplo, v, s e a — e caracterizados pelo seu módulo e orientação, dados pela sua direção e sentido.

  • Módulo de um vetor

O módulo, comumentemente chamado de intensidade ou valor numérico, diz respeito ao tamanho da grandeza vetorial, sendo representado por |v| ou apenas v.

  • Direção de um vetor

A direção informa a posição do vetor, podendo ser horizontal, vertical e diagonal.

  • Sentido de um vetor

O sentido informa a posição na qual a ponta do vetor está apontando, podendo ser direita, esquerda, para cima, para baixo, leste, norte, sul, oeste, nordeste, noroeste, sudeste, sudoeste etc.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Tipos de vetores

Os vetores podem ser tipificados como vetores iguais, vetores nulos, vetores opostos e vetores unitários.

  • Vetores iguais

Os vetores iguais são aqueles que apresentam a mesma direção, sentido e módulo, como podemos ver na imagem abaixo:

 O vetor a é igual ao vetor b.
  • Vetores opostos

Os vetores opostos são aqueles que apresentam sentidos opostos, sendo representados por um sinal negativo na frente do símbolo do vetor.

Representação de vetores opostos.
 O vetor a é o vetor oposto de a.
  • Vetores perpendiculares

Os vetores perpendiculares são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo de 90°.

Representação de vetores perpendiculares.

  • Vetores oblíquos

Os vetores oblíquos são a combinação entre vetores com direções opostas que formam um ângulo diferente de 0°, 90° e 180°.

Representação de vetores oblíquos.

  • Vetores nulos

Os vetores nulos são aqueles que apresentam módulo igual a zero e direção e sentido indeterminados. São representados geometricamente por apenas um ponto e escrito como 0.

Representação de vetores nulos.

  • Vetores unitários

Os vetores unitários são aqueles que apresentam módulo igual a 1.

  • Vetores resultantes

O vetor resultante é aquele que resulta das operações com vetores. Para determiná-lo com exatidão, é essencial levar em consideração o módulo, direção e sentido dos vetores utilizados na operação vetorial.

Leia também: Diferenças entre grandezas escalares e vetoriais

Operações com vetores

As operações com vetores são operações algébricas realizadas por meio do módulo, direção e sentido dos vetores, sendo elas descritas abaixo:

  • Adição de vetores

A adição de vetores é o somatório dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores que obrigatoriamente estão no mesmo sentido e direção.

Exemplo: Determine o vetor resultante da adição dos vetores a e b, com tamanho de 1 unidade e de 4 unidades, respectivamente, com suas orientações descritas na imagem abaixo:

 Vetores a e b, com tamanhos de 1 unidade e de 4 unidades.

O vetor resultante da adição dos vetores a e b possui direção horizontal e sentido para a direita. Já seu tamanho é calculado por meio do somatório dos tamanhos dos vetores a e b:

vetor resultante=a+b

vetor resultante=1+4

vetor resultante=5u

A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a direita e o tamanho do vetor resultante é de 5 unidades.

  • Subtração de vetores

A subtração de vetores é a diferença dos módulos (ou tamanhos) e sentidos dos vetores. Eles precisam, obrigatoriamente, ter a mesma direção e sentido oposto.

Exemplo: Determine o vetor resultante da subtração dos vetores a e b, com tamanhos de 2 unidades e de 3 unidades, respectivamente, com suas orientações descritas na imagem abaixo:

 Vetores a e b, com com tamanhos de 2 e 3 unidades.

O vetor resultante da subtração dos vetores a e b possui direção horizontal e sentido para a esquerda, sendo no mesmo sentido que o vetor com maior tamanho. Já seu tamanho é calculado por meio da subtração dos tamanhos dos vetores a e b:

vetor resultante=ab

vetor resultante=23

vetor resultante=1 u

A direção do vetor resultante é horizontal, o sentido do vetor resultante é para a esquerda, e o tamanho do vetor resultante é de 1 unidade. O sinal negativo significa que ele está contrário ao sentido do vetor a.

  • Produto de um número real por um vetor

O produto de um número real por um vetor gera um vetor novo, com mesma direção e sentido para o caso de o número real ser positivo e mesma direção e sentido oposto para o caso de o número real ser negativo. Seu módulo é o resultado do produto entre o número real n e o vetor v, conforme descrito na fórmula abaixo:

vnovo=nv

Exemplo: Determine o vetor resultante da multiplicação do número real 10 pelo vetor a com módulo de 15 unidades e orientação sudoeste.

Nesse caso, a direção e o sentido do vetor permanecem os mesmos — diagonal e sudoeste, respectivamente. Já o módulo é calculado por meio da fórmula abaixo:

vnovo=nv

vnovo=1015

vnovo=150 u

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é sudoeste, e o módulo do vetor novo é de 150 unidades.

  • Vetores perpendicualres: regra do paralelogramo e o teorema de Pitágoras

Nos vetores perpendiculares, o módulo é calculado por meio do teorema de Pitágoras, com a sua equação:

hipotenusa2=cateto21+cateto22

Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores a e b, com tamanhos de 3 unidades e de 5 unidades, respectivamente, e com suas orientações descritas na imagem abaixo:

Vetor a voltado para cima; vetor b voltado para a direita.

Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos a regra do paralelogramo, que consiste primeiramente em unir os dois vetores pela sua origem, conforme desenhado abaixo:

União de vetores a e b pela origem

Depois, traçaremos pontilhados do mesmo tamanho dos vetores, conforme desenhado abaixo:

União de vetores a e b pela origem com traçado pontilhado ligando-os.

Em seguida, traçaremos uma linha diagonal, unindo a ponta da origem dos vetores até o ponto em que suas setas se encontram. Essa linha corresponde ao vetor resultante r entre esses dois vetores, como desenhado abaixo:

União de vetores a e b pela origem com vetor resultante traçado na diagonal

Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio do teorema de Pitágoras, dado pela fórmula:

hipotenusa2=cateto21+cateto22

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante r, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

r2=a2+b2

r2=32+52

r2=9+25

r2=34

r=34

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de 34 unidades.

  • Vetores oblíquos: regra do paralelogramo e lei dos cossenos

Nos vetores oblíquos, a direção e sentido são dados por meio da regra do paralelogramo e o módulo é calculado por meio da lei dos cossenos, com a sua fórmula:

hipotenusa2=cateto21+cateto222cateto1cateto2cosθ

Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores a e b, com tamanhos de 4 unidades e de 7 unidades, respectivamente, sabendo que o ângulo formado entre eles é 60° e suas orientações estão descritas na imagem abaixo:

Representação dos vetores A e B

Para encontrarmos sua direção e sentido, usaremos também a regra do paralelogramo, como explicada no exemplo anterior, resultando na imagem abaixo:

Aplicação da regra do paralelogramo em vetores A e B

Já o módulo do vetor resultante é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:

hipotenusa2=cateto21+cateto222cateto1cateto2cosθ

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante r, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

r2=a2+b22abcosθ

r2=42+72247cos 60°

r2=16+49560,5

r2=16+4928

r2=37

r=37

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é para a direita, e o tamanho do vetor resultante é 37 unidades.

  • Vetor resultante de vários vetores

O vetor resultante de vários vetores é dado por meio da união das origens dos vetores e calculado pelo vetor resultante de dois em dois vetores, utilizando as operações de adição ou subtração, o teorema de Pitágoras ou a lei dos cossenos.

Exemplo: Determine o vetor resultante da combinação dos vetores a, b e c, com tamanhos de 3, 4 e 5 unidades, respectivamente, sabendo que o ângulo formado entre a e b é de 60°, o ângulo formado entre o vetor resultante entre os vetores a e b com o vetor c é de 30° e suas orientações estão descritas na imagem abaixo:

Representação dos vetores A, B e C

Primeiramente, vamos unir as origens dos vetores, como na imagem abaixo:

Representação da união dos vetores A, B e C

Depois, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores a e b, chamado-o de vetor v, por meio da regra do paralelogramo, como na imagem abaixo:

Aplicação da regra do paralelogramo nos vetores A e B

Já o módulo do vetor resultante v é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:

hipotenusa2=cateto21+cateto222cateto1cateto2cosθ

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante v, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

v2=a2+b22abcos 60°

v2=32+422340,5

v2=9+16240,5

v2=9+1612

v2=13

v=13 u

Em seguida, encontraremos o sentido e direção do vetor resultante entre os vetores v e c, chamado-o de vetor r, por meio da regra do paralelogramo, como na imagem abaixo:

Determinação do vetor resultante entre os vetores V e C

Já o módulo do vetor resultante r é calculado por meio da lei dos cossenos, dada pela fórmula:

hipotenusa2=cateto21+cateto222cateto1cateto2cosθ

A hipotenusa corresponde ao módulo do vetor resultante r, e os catetos são os módulos dos vetores envolvidos:

r2=v2+c22vccos 30°

r2=13+25539

r213+2556,24

r23831,22

r26,77

r2,6 u

A direção do vetor resultante é diagonal, o sentido do vetor resultante é leste-nordeste, e o tamanho do vetor resultante é de aproximadamente 2,6 unidades.

Para saber mais sobre as operações com vetores e conferir mais exemplos, clique aqui.

Decomposição vetorial

A decomposição vetorial é a fragmentação de um vetor em sua componente horizontal x e componente vertical y. O cálculo pode ser feito por meio das fórmulas abaixo:

ax=acosθ

- ax é o módulo da componente horizontal do vetor a.

- a é o módulo do vetor a.

- cosθ  é o cosseno do ângulo formado entre o vetor a  e a sua componente horizontal ax.

ay=asinθ

- ay é o módulo da componente vertical do vetor a.

- a é o módulo do vetor a.

- sinθ é o seno do ângulo formado entre o vetor a e a sua componente horizontal ax.

Exemplo: Encontre e calcule a componente horizontal e a componente vertical do vetor a com orientação nordeste e módulo de 5 unidades, sabendo que o ângulo formado entre ele e a sua componente horizontal é de 30°.

Primeiramente, desenharemos o vetor a:

Vetor A

Então, vamos decompô-lo em suas componentes x e y da seguinte forma:

Decomposição do vetor A nas suas componentes x e y

Depois, calcularemos a componente horizontal, por meio da sua fórmula:

ax=acosθ

ax=5cos 30°

ax=522

ax=2,52 u

Por fim, calcularemos a componente vertical, por meio da sua fórmula:

ay=asinθ

Exercícios resolvidos sobre decomposição vetorial

Questão 1

(UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza:

a) escalar

b) algébrica

c) linear

d) vetorial

e) n.d.a.

Resolução:

Alternativa D. Toda grandeza que necessita de orientação, além da intensidade, é chamada de grandeza vetorial.

Questão 2

(Fesp) Em um corpo estão aplicadas apenas duas forças, de intensidades 12 N e 8,0  N. Uma possível intensidade da resultante será:

a) 22 N

b) 3,0 N

c) 10 N

d) zero

e) 21 N

Resolução:

Alternativa C. Como não nos foi informada a orientação dos vetores, a intensidade do vetor resultante pode ser dada pelas operações de dois vetores. Então, primeiramente calcularemos utilizando a adição de vetores:

v+u=12+8=20 N

Em seguida, calcularemos a subtração de vetores:

vu=128=4

Depois, consideraremos os vetores como perpendiculares e os calcularemos com o teorema de Pitágoras:

hipotenusa2=cateto21+cateto22

vetor resultante2=122+82

vetor resultante2=144+64

vetor resultante2=208

vetor resultante=208

vetor resultante14,42

Por fim, consideraremos os vetores como oblíquos e os calcularemos por meio da regra do paralelogramo:

hipotenusa2=cateto21+cateto222cateto1cateto2cosθ

vetor resultante2=122+822128cosθ

Não temos o ângulo, mas sabemos que o menor valor e o maior valor do cosseno de um ângulo são -1 e 1, respectivamente, então realizaremos um cálculo para cada um desses valores:

Cosseno do ângulo 1:

vetor resultante2=144+6421281

vetor resultante2=144+64192

vetor resultante2=16

vetor resultante=16

vetor resultante=4

Cosseno do ângulo -1:

vetor resultante2=144+642128(1)

vetor resultante2=400

vetor resultante=400

vetor resultante=20

Os valores possíveis de intensidade resultante são 4, 14, 42 e 20, então uma possível intensidade da resultante está entre 4 e 20, sendo 10.

 

Por Pâmella Raphaella Melo
Professora de Física

Escritor do artigo
Escrito por: Pâmella Raphaella Melo Sou uma autora e professora que preza pela simplificação de conceitos físicos, transportando-os para o cotidiano dos estudantes e entusiastas. Sou formada em Licenciatura Plena em Física pela PUC- GO e atualmente curso Engenharia Ambiental e Sanitária pela UFG.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

MELO, Pâmella Raphaella. "O que são vetores?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-sao-vetores.htm. Acesso em 19 de fevereiro de 2025.

De estudante para estudante


Artigos Relacionados


Cinemática

Clique aqui e entenda o que é a Cinemática. Saiba o que ela estuda, conheça suas fórmulas e conheça seus tipos e os tipos de movimento.
Física

Introdução à Física

Clique para compreender alguns conhecimentos fundamentais de introdução à Física, ciência que estuda fenômenos da natureza.
Física

Análise dimensional

Você sabe o que é análise dimensional ou tem dificuldade em usar essa ferramenta? Confira o nosso artigo e veja exemplos e exercícios resolvidos sobre esse tema.
Física

Sistema Internacional de Unidades

Clique aqui e descubra o que é o Sistema Internacional de Unidades (SI), aprenda quais são as grandezas e as unidades fundamentais, e confira exercícios resolvidos.
Física

Grandezas vetoriais e escalares

Você sabe o que são grandezas vetoriais e escalares? Acesse o texto e descubra o que são, suas características e as principais diferenças entre essas grandezas.
Física

Norma de um vetor

Clique para aprender a calcular a norma de um vetor e quais são as relações entre norma, comprimento e módulo vetorial!
Matemática

Operações com vetores e representações geométricas

Veja as operações básicas entre vetores, além de algumas representações geométricas dessas operações!
Matemática

Produto interno entre dois vetores

Confira a definição de produto interno entre dois vetores e algumas propriedades e resultados decorrentes dessa definição.
Matemática

Ângulo entre dois vetores

Clique para aprender a calcular o ângulo entre dois vetores!
Matemática

Decomposição vetorial

Clique aqui e saiba o que é decomposição vetorial. Entenda para que ela serve, descubra como fazê-la e veja um exemplo.
Física