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A tangente (abreviada como tg ou tan) é uma função trigonométrica. Para determinar a tangente de um ângulo, podemos utilizar diferentes estratégias: calcular a razão entre o seno e cosseno do ângulo, caso sejam conhecidos; utilizar uma tabela de tangentes ou uma calculadora; calcular a razão entre o cateto oposto e o adjacente, caso o ângulo em questão seja interno (agudo) de um triângulo retângulo, entre outras.
Leia também: Para que serve o círculo trigonométrico?
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre tangente
- 2 - Tangente de um ângulo
- 3 - Tangente dos ângulos notáveis
- 4 - Como calcular a tangente?
- 5 - Lei das tangentes
- 6 - Razões trigonométricas
- 7 - Exercícios resolvidos sobre tangente
Resumo sobre tangente
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Tangente é uma função trigonométrica.
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A tangente de um ângulo interno a um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
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A tangente de um ângulo qualquer é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo.
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A função f(x)=tg x é definida para ângulos x expressos em radianos, tais que cos cos x≠0.
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O gráfico da função tangente apresenta assíntotas verticais para os valores, em que x=π2+kπ, com k inteiro, como x=−π2.
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A lei das tangentes é uma expressão que associa, em um triângulo qualquer, as tangentes de dois ângulos e os lados opostos a esses ângulos.
Tangente de um ângulo
Se α é um ângulo interno de um triângulo retângulo, a tangente de α é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente:
Para um ângulo α qualquer, a tangente é a razão entre o seno α e o cosseno de α, em que cos α≠0:
tg α=sen αcos α
Cabe observar que, se α é um ângulo do 1º ou do 3º quadrante, a tangente terá sinal positivo; mas, se se α é um ângulo do 2º ou do 4º quadrante, a tangente terá sinal negativo. Essa relação resulta diretamente da regra de sinais entre os sinais do seno e do cosseno para cada α.
Importante: Perceba que a tangente não existe para valores de α em que cos α=0. Isso acontece para os ângulos de 90°, 270°, 450°, 630° e assim por diante. Para representar esses ângulos de modo geral, utilizamos a notação em radianos: π2+kπ, com k inteiro.
Tangente dos ângulos notáveis
Utilizando a expressão tg α=sen αcos α, podemos encontrar as tangentes dos ângulos notáveis, que são os ângulos de 30°, 45° e 60°:
tg 30°=sen 30°cos 30°=12√32=1√3=√33
tg 45°=sen 45°cos 45°=√22√22=1
tg 60°=sen 60°cos 60°=√3212=√3
Interessante: Além desses, podemos analisar os valores da tangente para os ângulos de 0° e 90°, que também são muito utilizados. Como sen 0° = 0, concluímos que tg 0° = 0. Para o ângulo de 90°, como cos 90° = 0, a tangente não existe.
Como calcular a tangente?
Para calcular a tangente, usamos a fórmula tg α=sen αcos α, usada para o cálculo da tangente de qualquer ângulo. Vejamos alguns exemplos a seguir.
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Exemplo 1
Determine a tangente do ângulo α no triângulo retângulo abaixo.
Resolução:
Em relação ao ângulo α, o lado de medida 6 é o cateto oposto e o lado de medida 8 é o cateto adjacente. Assim:
tg α=68=0,75
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Exemplo 2
Sabendo que sen 35°≈0,573 e cos 35°≈0,819, determine o valor aproximado para a tangente de 35°.
Resolução:
Como a tangente de ângulo é a razão entre o seno e cosseno desse ângulo, temos que:
tg 35°=sen 35°cos 35°=0,5730,819
tg 35°≈0,700
Função tangente
A função fx=tg x é definida para ângulos x expressos em radianos, tal que cos x≠0. Isso significa que o domínio da função tangente é expresso por:
D(tg)={x∈R:x≠π2+kπ,k∈Z}
Além disso, todos os números reais são a imagem da função tangente.
→ Gráfico da função tangente
Observe que o gráfico da função tangente apresenta assíntotas verticais para os valores em que x=π2+kπ, com k inteiro, como x=−π2. Para esses valores de x, a tangente não está definida (ou seja, a tangente não existe).
Veja também: O que é domínio, contradomínio e imagem?
Lei das tangentes
A lei das tangentes é uma expressão que associa, em um triângulo qualquer, as tangentes de dois ângulos e os lados opostos a esses ângulos. Por exemplo, considere os ângulos α e β do triângulo ABC abaixo. Perceba que o lado CB = a é oposto ao ângulo α e que o lado AC = b é oposto ao ângulo β.
A lei das tangentes determina que:
a−ba+b=tg [12(α−β)]tg [12(α+β)]
Razões trigonométricas
As razões trigonométricas são as funções trigonométricas trabalhadas no triângulo retângulo. Interpretamos essas razões como relações entre os lados e ângulos desse tipo de triângulo.
Exercícios resolvidos sobre tangente
Questão 1
Seja θ um ângulo do segundo quadrante tal que sen sen θ≈0,978, assim, tg θ é, aproximadamente:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Resolução
Alternativa A
Se sen θ≈0,978, então, utilizando a identidade fundamental da trigonometria:
sen2θ+cos2θ=1
0,9782+cos2θ=1
cos2θ=1−0,956484
cos θ=±√0,043516
Como θ é um ângulo do segundo quadrante, então cos θ é negativo, portanto:
cos θ≈−0,2086
Logo:
tg θ=sen θcos θ=0,978−0,2086=−4,688
Questão 2
Considere um triângulo retângulo ABC com catetos AB = 3 cm e AC = 4 cm. A tangente do ângulo B é:
A) 34
B) 35
C) 43
D) 45
E) 53
Resolução:
Alternativa C
Pelo enunciado, o cateto oposto ao ângulo ˆB é o AC com medida de 4 cm e o cateto adjacente ao ângulo ˆB é o AB com medida de 3 cm. Assim:
tgˆC=43
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática