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Tangente

Tangente é uma função trigonométrica. Podemos encontrar a tangente de um ângulo ao calcular a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo, desde que o cosseno não seja nulo.

Caderno, com a fórmula da tangente de um ângulo, rodeado de objetos escolares.
Assim como o seno e o cosseno, a tangente é uma função trigonométrica.
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A tangente (abreviada como tg ou tan) é uma função trigonométrica. Para determinar a tangente de um ângulo, podemos utilizar diferentes estratégias: calcular a razão entre o seno e cosseno do ângulo, caso sejam conhecidos; utilizar uma tabela de tangentes ou uma calculadora; calcular a razão entre o cateto oposto e o adjacente, caso o ângulo em questão seja interno (agudo) de um triângulo retângulo, entre outras.

Leia também: Para que serve o círculo trigonométrico?

Tópicos deste artigo

Resumo sobre tangente

  • Tangente é uma função trigonométrica.

  • A tangente de um ângulo interno a um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

  • A tangente de um ângulo qualquer é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo.

  • A função f(x)=tg x é definida para ângulos x expressos em radianos, tais que cos cos x0.

  • O gráfico da função tangente apresenta assíntotas verticais para os valores, em que x=π2+kπ, com k inteiro, como x=π2.

  • A lei das tangentes é uma expressão que associa, em um triângulo qualquer, as tangentes de dois ângulos e os lados opostos a esses ângulos.

Tangente de um ângulo

Se α é um ângulo interno de um triângulo retângulo, a tangente de α é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente: 

Ilustração de um triângulo retângulo ao lado da fórmula da tangente para cálculo da tangente de um ângulo.

Para um ângulo α qualquer, a tangente é a razão entre o seno α e o cosseno de α, em que cos α0:

tg α=sen αcos α

Cabe observar que, se α é um ângulo do 1º ou do 3º quadrante, a tangente terá sinal positivo; mas, se se α é um ângulo do 2º ou do 4º quadrante, a tangente terá sinal negativo. Essa relação resulta diretamente da regra de sinais entre os sinais do seno e do cosseno para cada α.

Importante: Perceba que a tangente não existe para valores de α em que cos α=0. Isso acontece para os ângulos de 90°, 270°, 450°, 630° e assim por diante. Para representar esses ângulos de modo geral, utilizamos a notação em radianos: π2+kπ, com k inteiro.

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Tangente dos ângulos notáveis

Utilizando a expressão tg α=sen αcos α, podemos encontrar as tangentes dos ângulos notáveis, que são os ângulos de 30°, 45° e 60°:

tg 30°=sen 30°cos 30°=1232=13=33

tg 45°=sen 45°cos 45°=2222=1

tg 60°=sen 60°cos 60°=3212=3

Interessante: Além desses, podemos analisar os valores da tangente para os ângulos de 0° e 90°, que também são muito utilizados. Como sen 0° = 0, concluímos que tg 0° = 0. Para o ângulo de 90°, como cos 90° = 0, a tangente não existe.

Como calcular a tangente?

Para calcular a tangente, usamos a fórmula tg α=sen αcos α, usada para o cálculo da tangente de qualquer ângulo. Vejamos alguns exemplos a seguir.

  • Exemplo 1

Determine a tangente do ângulo α no triângulo retângulo abaixo.

Ilustração de um triângulo retângulo para o cálculo da tangente.

Resolução:

Em relação ao ângulo α, o lado de medida 6 é o cateto oposto e o lado de medida 8 é o cateto adjacente. Assim:

tg α=68=0,75

  • Exemplo 2

Sabendo que sen 35°0,573 e cos 35°0,819, determine o valor aproximado para a tangente de 35°.

Resolução:

Como a tangente de ângulo é a razão entre o seno e cosseno desse ângulo, temos que:

tg 35°=sen 35°cos 35°=0,5730,819

tg 35°0,700

Função tangente

A função fx=tg x é definida para ângulos x expressos em radianos, tal que cos x0. Isso significa que o domínio da função tangente é expresso por:

D(tg)={xR:xπ2+kπ,kZ}

Além disso, todos os números reais são a imagem da função tangente.

→ Gráfico da função tangente

 Gráfico da função tangente.

Observe que o gráfico da função tangente apresenta assíntotas verticais para os valores em que x=π2+kπ, com k inteiro, como x=π2. Para esses valores de x, a tangente não está definida (ou seja, a tangente não existe).

Veja também: O que é domínio, contradomínio e imagem?

Lei das tangentes

A lei das tangentes é uma expressão que associa, em um triângulo qualquer, as tangentes de dois ângulos e os lados opostos a esses ângulos. Por exemplo, considere os ângulos α e β do triângulo ABC abaixo. Perceba que o lado CB = a é oposto ao ângulo α e que o lado AC = b é oposto ao ângulo β.

Ilustração de um triângulo qualquer para indicar o que a lei das tangentes determina.

A lei das tangentes determina que:

aba+b=tg [12(αβ)]tg [12(α+β)]

Razões trigonométricas

As razões trigonométricas são as funções trigonométricas trabalhadas no triângulo retângulo. Interpretamos essas razões como relações entre os lados e ângulos desse tipo de triângulo. 

Representação das fórmulas das razões trigonométricas, as funções trigonométricas trabalhadas no triângulo retângulo.

Exercícios resolvidos sobre tangente

Questão 1

Seja θ um ângulo do segundo quadrante tal que sen sen θ0,978, assim, tg θ é, aproximadamente:

A) -4,688

B) 4,688

C) 0,2086

D) -0,2086

E) 1

Resolução

Alternativa A

Se sen θ0,978, então, utilizando a identidade fundamental da trigonometria:

sen2θ+cos2θ=1

0,9782+cos2θ=1

cos2θ=10,956484

cos θ=±0,043516

Como θ é um ângulo do segundo quadrante, então cos θ é negativo, portanto:

cos θ0,2086

Logo:

tg θ=sen θcos θ=0,9780,2086=4,688

Questão 2

Considere um triângulo retângulo ABC com catetos AB = 3 cm e AC = 4 cm. A tangente do ângulo B é:

A) 34

B) 35

C) 43

D) 45

E) 53

Resolução:

Alternativa C

Pelo enunciado, o cateto oposto ao ângulo ˆB é o AC com medida de 4 cm e o cateto adjacente ao ângulo ˆB é o AB com medida de 3 cm. Assim:

tgˆC=43

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática

Escritor do artigo
Escrito por: Maria Luiza Alves Rizzo Autora, Leitora Crítica e Revisora de Matemática apaixonada por escrever. Especialista pela UFPI (2023) e Licenciada pela UFSM (2022), trabalha em projetos editoriais para o Ensino Fundamental, Ensino Médio e Pré-vestibular.

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Tangente"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangente.htm. Acesso em 23 de fevereiro de 2025.

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