Relação de Euler

 A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:

V – A + F = 2

Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.

1º Exemplo:

Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices.

Resolução:

V – A + F = 2

6 – 10 + F = 2

–4 + F = 2

F = 4 + 2

F = 6

O sólido possui, portanto, 6 faces.

2º Exemplo:

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular.

Resolução:

Vértices

V – A + F = 2

V – 8 + 5 = 2

V = 2 + 3

V = 5

Arestas

V – A + F = 2

5 – A + 5 = 2

–A = 2 – 10

–A = –8 x(–1)

A = 8

Faces

V – A + F = 2

5 – 8 + F = 2

–3 + F = 2

F = 2 + 3

F = 5

Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

3º Exemplo:

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro.

Resolução:

Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

x – 22 + x = 2

2x = 2 + 22

2x = 24

x = 12

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.

 

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática