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A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de indicar o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:
V – A + F = 2
Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.
1º Exemplo:
Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices.
Resolução:
V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
–4 + F = 2
F = 4 + 2
F = 6
O sólido possui, portanto, 6 faces.
2º Exemplo:
Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:
Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos da pirâmide de base quadrangular.
Resolução:
Vértices
V – A + F = 2
V – 8 + 5 = 2
V = 2 + 3
V = 5
Arestas
V – A + F = 2
5 – A + 5 = 2
–A = 2 – 10
–A = –8 x(–1)
A = 8
Faces
V – A + F = 2
5 – 8 + F = 2
–3 + F = 2
F = 2 + 3
F = 5
Assim, podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.
3º Exemplo:
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces desse poliedro.
Resolução:
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.
Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
x – 22 + x = 2
2x = 2 + 22
2x = 24
x = 12
Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a 12.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
