Funções trigonométricas do arco duplo

Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:

Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2, portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.

De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β, portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.

Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.

Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja como:

• Cos 2β
Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:

cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β

Unindo os termos semelhantes teremos:

cos 2β = cos (β + β) = cos² β – sen² β

Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:

cos 2β = cos² β – sen² β

• Sen 2β

Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:

Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β

Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:

Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β

Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:

Sen 2β = 2 . sen β . cos β

• tg 2β

Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β 
                                1 – tg x . tg β

Unindo os termos semelhantes teremos:

tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
                                1 – tg²β

Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:

tg 2β = 2 tgβ 
           1 – tg²β

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática