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Transformações trigonométricas

Matemática

Transformações trigonométricas são as fórmulas que facilitam o cálculo das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente da soma, do arco duplo, entre outras situações.
Seno, cosseno e tangente são algumas das razões trigonométricas.
Seno, cosseno e tangente são algumas das razões trigonométricas.
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Conhecemos como transformações trigonométricas as fórmulas que facilitam o cálculo do valor de seno, cosseno e tangente para a soma e a diferença entre arcos, a resolução de problemas envolvendo arco duplo, e a reescrita de uma adição de razões trigonométricas como um produto.

Com as transformações trigonométricas, é possível aumentar o número de valores conhecidos para as razões trigonométricas, pois, com base nos dois arcos conhecidos, é possível encontrar o valor do seno, cosseno e tangente da soma ou da diferença entre os ângulos conhecidos por meio das transformações trigonométricas. As principais transformações trigonométricas são a soma e a diferença entre arcos, as fórmulas para arco duplo, e as transformações em produtos.

Leia também: Quais são os 4 erros mais cometidos na trigonometria básica?

Resumo sobre as transformações trigonométricas

  • As transformações trigonométricas são fórmulas que facilitam nos cálculos de razões trigonométricas para alguns arcos.

  • Utilizamos as transformações trigonométricas para calcular o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferença de dois arcos.

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O que são as transformações trigonométricas?

Conhecemos como transformações trigonométricas as fórmulas utilizadas para encontrar o valor das razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente, em alguns casos particulares, para a soma ou diferença entre dois arcos, em um arco duplo, e também para a transformação da adição ou da diferença entre arcos em um produto entre arcos.

Fórmulas das transformações trigonométricas

Vejamos, a seguir, as fórmulas das transformações trigonométricas.

  • Soma e diferença de dois arcos

Para calcular a soma ou a diferença entre dois arcos trigonométricos, utilizamos as fórmulas:

1) seno da soma:

sen(a + b) = sen(a) · cos (b) + sen (b) · cos (a)

2) seno da diferença:

sen(a – b) = sen(a) · cos (b) – sen (b) · cos (a)

3) cosseno da soma:

cos(a + b) = cos(a) · cos (b) – sen (a) · sen (b)

4) cosseno da diferença:

cos(a – b) = cos(a) · cos (b) + sen (a) · sen (b)

5) tangente da soma:

Fórmula para calcular a tangente da soma.

6) tangente da diferença:

Fórmula para calcular a tangente da diferença.

Exemplo:

Durante a medição de determinados ângulos, encontrou-se as medidas de 50º e 30º, e, calculado o valor do seno e do cosseno desses ângulos, temos:

sen 30º = 0,50

cos 30º = 0,87

sen 50º = 0,77

cos 50º = 0,64

Com base nesses dados, calcule:

a) sen 80º

Sabemos que 80º = 30 + 50º, então, temos que:

sen(80º) = sen(30º + 50º)

Utilizando a fórmula do seno da soma, temos que:

sen(a + b) = sen(a) · cos(b) + sen(b) · cos(a)

sen(30° + 50°) = sen(30°) · cos(50º) + sen(50°) · cos(30°)

sen(80º) = 0,50 · 0,64 + 0,77 · 0,87

sen(80°) = 0,32 + 0,6699

sen(80º) = 0,9899

b) cos (20º)

Sabemos que 20º = 50º – 30º, então, temos que:

cos 20º = cos (50º – 30º)

Utilizando a fórmula para o cosseno da diferença, temos que:

cos(a – b) = cos(a) · cos (b) + sen (a) · sen (b)

cos(50° – 30°) = cos(50°) · cos (30°) + sen (50°) · sen (30°)

cos(20°) = 0,64 · 0,87 + 0,77 · 0,50

cos(20°) = 0,64 · 0,87 + 0,77 · 0,50

cos(20º) = 0,5568 + 0,385

cos(20º) = 0,9418

Veja também: Seno e cosseno de ângulos suplementares

  • Arco duplo

Encontramos as fórmulas para o arco duplo quando vamos realizar a soma de dois arcos iguais:

1) seno do arco duplo:

sen(2a) = 2sen(a) · cos(a)

2) cosseno do arco duplo:

cos(2a) = cos(a)² – sen(a)²

3) tangente do arco duplo:

Fórmula para o cálculo da tangente do arco duplo.

Exemplo:

Sabendo que tg 20º = 0,47, então, calcule o valor da tg 40º.

Sabemos que 40° = 2 · 20°, então, utilizando a fórmula da tangente do arco duplo, temos que:

Cálculo para encontrar o valor da tangente do ângulo de 40º.

Transformação em produto

Com as fórmulas a seguir, é possível transformar a soma ou a diferença entre as razões trigonométricas como um produto.

Fórmulas para transformar a soma ou a diferença entre as razões trigonométricas como um produto.

Exercícios resolvidos sobre transformações trigonométricas

Questão 1 - Utilizando os ângulos notáveis, o valor cos 15º é:

Alternativas de questão que pergunta o valor do cosseno de 15º.

Resolução

Alternativa C

Sabemos que 15º = 45º – 30º.

Então, temos que:

Resolução de questão para encontrar o valor do cosseno de 15º.

Questão 2 - (Unifenas) Sendo dados sen(x) = 0,8 e cos(x) = 0,6, qual é o valor do sen(2x)?

A) 0,96

B) 0,90

C) 0,80

D) 0,70

E) 0,60

Resolução

Alternativa A

Utilizando a fórmula do arco duplo:

sen(2x) = 2sen(x) · cos(x)

Substituindo os valores conhecidos:

sen(2x) = 2 · 0,8 · 0,6

sen(2x) = 0,96



Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Transformações trigonométricas"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/transformacoes-trigonometricas.htm. Acesso em 25 de outubro de 2021.

Lista de Exercícios
Questão 1

Utilizando as transformações trigonométricas, mostre que sen 3a = 3 * sen a – 4 * sen3 a. 

Questão 2

Calcule sen 2a sabendo que sen a – cos a = 2/5.

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