As equações do segundo grau são aquelas que possuem apenas uma incógnita, e um de seus termos é elevado ao quadrado. Assim, toda equação do segundo grau pode ser escrita na seguinte forma:
ax2 + bx + c = 0
Nessa forma, a, b e c são números reais, com a ≠ 0. Observe que apenas o coeficiente a é obrigatoriamente diferente de zero. Quando um (ou todos) os outros coeficientes de uma equação do segundo grau são iguais a zero, essa equação é chamada incompleta.
Neste artigo, analisaremos os métodos que podem ser usados para resolver equações incompletas, no caso em que o coeficiente C = 0, ou seja, o coeficiente é nulo.
Fórmula de Bháskara
O método mais conhecido, e que pode ser usado para resolver qualquer equação do segundo grau, desde que essa equação possua raízes reais, é a fórmula de Bháskara. Para usar esse método, basta substituir os valores numéricos dos coeficientes da equação na fórmula do discriminante e, depois, substituir os coeficientes e o discriminante na fórmula de Bháskara. As fórmulas citadas são as seguintes:
Discriminante:
∆ = b2 – 4·a·c
Bháskara:
x = – b ± √∆
2·a
Exemplo: a equação incompleta 2x2 + 32x = 0 tem como discriminante:
∆ = b2 – 4·a·c
∆ = 322 – 4·2·0
∆ = 322
Na fórmula de Bháskara, os valores de x serão:
x = – b ± √∆
2·a
x = – 32 ± √322
2·2
x = – 32 ± √322
4
x = – 32 ± 32
4
x’ = – 32 + 32 = 0 = 0
4 4
x’’ = – 32 – 32 = – 64 = 0
4 4
x’’ = – 16
S = {0, – 16}
Colocando fatores em evidência
Nas equações em que C = 0, note que em todos os termos aparece a incógnita x. Nesse caso, é possível colocar x – e outros fatores, caso existam – em evidência e analisar o resultado disso para encontrar as raízes da equação. Observe o exemplo x2 + 20x = 0
Colocando x em evidência, teremos:
x2 + 20x = 0
x(x + 20) = 0
Note que temos um produto no qual os fatores são x e x + 20. Observe também que o resultado dessa multiplicação é igual a zero. Assim, para que esse resultado seja encontrado, x tem que ser igual a zero, ou x + 20 tem que ser igual a zero.
Se x = 0, já temos um dos resultados da equação do segundo grau.
Se x + 20 = 0, teremos:
x + 20 = 0
x = – 20
Sendo assim, a solução dessa equação é:
S = {0, – 20}
Sempre que C = 0, é possível usar essa estratégia para resolver equações do segundo grau. Esse método é muito mais rápido e requer passos a menos do que a fórmula de Bháskara, porém, somente resolverá equações do segundo grau em que o coeficiente c seja igual a 0.
Fórmula de resolução
Utilizando a mesma ideia anterior para o caso geral em que c = 0, pode-se determinar uma fórmula de resolução para as equações do segundo grau que possuem esse formato. Observe:
ax2 + bx = 0
Dividindo toda a equação por “a”, teremos:
ax2 + bx = 0
a a a
x2 + bx = 0
a
Colocando x em evidência, teremos:
x(x + b/a) = 0
Observe que x = 0 ou x + b/a = 0. Nesse último caso, teremos:
x + b = 0
a
x = – b
a
Então, as soluções de uma equação incompleta do segundo grau com C = 0 são:
x = 0 ou x = – b
a
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Equações incompletas do segundo grau com coeficiente c nulo"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-incompletas-segundo-grau-com-coeficiente-c-nulo.htm. Acesso em 07 de março de 2021.
Um objeto foi atirado, de modo que seu movimento descreveu uma parábola determinada pela função h(x) = – x2 + 9x, em que h(x) é a altura alcançada pelo objeto e x é a distância horizontal percorrida por ele, em metros. Qual é a distância máxima atingida por esse objeto nesse lançamento, supondo que ele foi atirado da altura do solo?
a) 0 metro.
b) 9 metros.
c) 12 metros.
d) 18 metros.
e) 20 metros.
Qual a distância entre as raízes não nulas das funções f(x) = – x2 + 2x e g(x) = – x2 – 2x?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
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