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Inequações logarítmicas

Matemática

As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, pertence ao logaritmando ou à base.
Aprenda a resolver inequações logarítmicas!
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As inequações logarítmicas são todas aquelas que apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o seguinte formato:

loga b = x ↔ ax = b,

*a é a base do logaritmo; b é o logaritmando e x é o logaritmo.

Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).

Ao desenvolver as inequações logarítmicas, podemos alcançar duas situações:

1º) Desigualdade entre logaritmos de mesma base:

loga b < loga c

Temos aqui dois casos a serem analisados: se a base for maior do que 1 (a > 1), podemos desconsiderar o logaritmo e manter a desigualdade entre os logaritmandos, isto é:

Se a > 1, então loga b < loga c ↔ b < c

Se, em contrapartida, a base for um número entre 0 e 1 (0 > a > 1), ao resolver a inequação logarítmica, devemos inverter a desigualdade e estabelecer uma inequação entre os logaritmandos, ou seja:

Se 0 > a > 1, então loga b < loga c ↔ b > c

2º) Desigualdade entre um logaritmo e um número real:

loga b < x

Se, ao resolver uma inequação logarítmica, depararmo-nos com uma desigualdade entre um logaritmo e um número real, podemos aplicar a propriedade básica do logaritmo, mantendo intacto o símbolo da desigualdade:

loga b < x ↔ b < ax

ou

loga b > x ↔ b > ax

Vejamos alguns exemplos de resolução de inequações logarítmicas:

Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x

Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:

2x – 3 > 0
2x > 3
x > 3/2

x > 0      

Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3

Quadro de resolução do Exemplo 1
Quadro de resolução do Exemplo 1

Nesse caso, a solução é .

Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3

Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:

x + 3 > 0
x > – 3

Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:

log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 2
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5 

 

Quadro de resolução do Exemplo 2
Quadro de resolução do Exemplo 2

A solução é .

Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)

Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:

3x > 0       
x > 0      
2x + 5 > 0
2x > – 5
x > – 5/2

Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os logaritmandos:

log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5

Quadro de resolução do Exemplo 3
Quadro de resolução do Exemplo 3

Nesse caso, a solução é .


Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Inequações logarítmicas"; Brasil Escola. Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacoes-logaritmicas.htm>. Acesso em 22 de novembro de 2017.

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