O que são grandezas direta e inversamente proporcionais?

Grandeza é o que pode ser medido. A grandeza não é o objeto que pode ser medido, mas a medida que é possível ser observada nele, como: distância, peso, velocidade etc. As grandezas também podem ser verificadas em razões, como é o caso da velocidade, que é uma grandeza resultante da divisão entre distância e tempo, os quais, por sua vez, são outras duas grandezas.

O que é proporcionalidade entre grandezas?

A razão entre duas grandezas é algo comum, que pode ser feito para avaliá-las e para obter outras grandezas e propriedades como resultado. Quando existe uma igualdade entre duas razões distintas, obtidas pela divisão entre duas grandezas em momentos distintos, ela é chamada de proporção, e as grandezas, nesse caso, são ditas proporcionais. Essa é a forma usada para os cálculos que envolvem regra de três, por exemplo.

Digamos que um automóvel se locomova a 50 km/h e, em determinado período de tempo, percorra 100 km. Se esse automóvel estivesse a 100 km/h, dentro desse mesmo intervalo de tempo, o espaço percorrido por ele seria de 200 km. A razão entre velocidade e espaço percorrido desse automóvel pode ser avaliada em dois momentos distintos e possui resultados iguais: 0,5.

 50 = 100 = 0,5
100   200        

Isso significa que as grandezas são proporcionais, isto é, a variação de uma das grandezas faz com que a outra também sofra variação na mesma taxa que a primeira. Dessa forma, ao dobrarmos a velocidade do automóvel, dobramos também o espaço percorrido por ele em um mesmo intervalo de tempo.

Grandezas diretamente proporcionais

Pelo fato de duas grandezas serem proporcionais, quando os valores de uma são alterados, os valores da outra também são alterados, por consequência, na mesma proporção que a primeira. Dizemos que as grandezas A e B são diretamente proporcionais quando, aumentando a medida da grandeza A, a medida da grandeza B aumenta, em consequência disso, na mesma proporção.

Se duas grandezas forem diretamente proporcionais, diminuir a medida da grandeza A fará com que a medida da grandeza B também diminua na mesma proporção, por isso, a palavra diretamente é usada para representar esse tipo de proporcionalidade entre grandezas.

Na situação apresentada anteriormente, o automóvel dobrou a velocidade, e isso fez o espaço percorrido dobrar. A consequência do aumento da velocidade foi um aumento no espaço percorrido, na mesma proporção da velocidade. Por esse motivo, as grandezas velocidade e espaço percorrido são diretamente proporcionais na situação avaliada.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas que são inversamente proporcionais ainda variam uma em consequência da outra e na mesma proporção, entretanto, o aumento da medida relativa à primeira faz com que a medida relativa à segunda diminua. Se diminuirmos a medida relativa à primeira grandeza, isso fará com que a medida relativa à segunda aumente. É por isso que essa proporcionalidade é chamada de inversa.

Exemplo: em uma fábrica de sapatos que possui 25 funcionários, é produzida uma determinada quantidade de sapatos em 10 horas. Se o número de funcionários for 50, essa mesma quantidade de sapatos será produzida em 5 horas.

É evidente que o dobro de funcionários fará o trabalho na metade do tempo. Isso acontece porque as grandezas horas trabalhadas e quantidade de funcionários são inversamente proporcionais.

Regra de três

A regra de três é a ferramenta usada para descobrir uma das medidas de uma proporção. Ela também é válida para quando essa proporção é obtida por meio de grandezas.

Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, monte a proporção entre as medidas observadas e utilize a propriedade fundamental das proporções para encontrar a medida procurada.

Exemplo: Um automóvel a 50 km/h percorre 100 km. Se esse automóvel estivesse a 75 km/h, teria percorrido quantos quilômetros no mesmo período de tempo?

 50 = 75
100    x 

50x = 75·100

50x = 7500

x = 7500
     50

x = 150 km.

Além disso, quando as grandezas forem inversamente proporcionais, será necessário inverter uma das frações da proporção formada por elas antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções.

Exemplo: Um automóvel está a uma velocidade de 50 km/h e gasta duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo automóvel gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h?

Montando a proporção, teremos:

50 = 2
75    x

Aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso deve diminuir, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Invertendo uma das frações, teremos:

50 = x
75    2

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

75x = 50·2

75x = 100

x = 100
      75

x = 1,33

Isso significa que o tempo gasto será de uma hora e 20 minutos. (1,33 h está na base decimal, por isso precisa ser convertido para horas, o que também pode ser feito por regra de três).

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática