O que é regra de três?

A regra de três é uma técnica usada para encontrar uma medida quando conhecemos outras três, desde que essas quatro medidas formem uma proporção. Esse método, conhecido como regra de três, faz uso de alguns conhecimentos importantes: propriedade fundamental das proporções, grandezas e medidas, razões e proporções. Pode-se dizer que a união de todos esses conhecimentos resulta, entre outras coisas, no que conhecemos como regra de três.

Regra de três

Digamos que uma fábrica de brinquedos consiga produzir 500 peças diárias com apenas 12 funcionários. Quantos funcionários são necessários para produzir 750 peças diárias?

Para resolver esse tipo de problema, usamos regra de três. Note que existem duas grandezas proporcionais no problema, uma é a quantidade de funcionários e outra a quantidade de peças diárias. Perceba também que são conhecidas três medidas dessas grandezas e a outra queremos descobrir. É por isso que essa técnica é conhecida como regra de três.

Construindo a proporção relativa a esse problema, temos:

 12 =   x  
500   750

Para encontrar o valor de x, basta utilizar os conhecimentos provenientes das equações ou usar a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Essa propriedade também é conhecida como “multiplicação cruzada”. Para aplicá-la, basta multiplicar 500 por x e 12 por 750:

500x = 12·750

Resolvendo essa equação, temos:

500x = 9000

x = 9000
     500

x = 18

Serão necessários 18 funcionários para produzir 750 brinquedos por dia.

Grandezas inversamente proporcionais

No exemplo anterior, note que, aumentando o número de funcionários, aumentamos também o número de brinquedos produzidos por dia. Quando duas grandezas possuem essa propriedade, elas são chamadas de grandezas diretamente proporcionais. Sempre que duas grandezas são diretamente proporcionais, o cálculo da regra de três poderá ser feito como no exemplo anterior.

Por outro lado, quando aumentamos a medida relativa a uma grandeza e a outra diminui por consequência disso, as grandezas são ditas inversamente proporcionais.

Exemplo: um automóvel movimenta-se a 50 km/h e leva 2 horas para chegar ao seu destino. Quanto tempo esse mesmo automóvel levaria se estivesse a 100 km/h?

Note que, aumentando a velocidade, o tempo gasto no percurso diminui, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Nesse caso, construiremos a proporção colocando a velocidade em uma fração e o tempo na outra:

 50 = 2
100   x

Essa construção é necessária porque, com grandezas inversamente proporcionais, antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções, inverteremos uma das frações.

 50 = x
100   2

Aplicando a propriedade, temos:

100x = 2·50

100x = 100

x = 100
     100

x = 1

Portanto, o automóvel gastará apenas 1 hora no percurso.

Fundamentos da regra de três: razão e proporção

Uma razão é uma divisão geralmente expressa na forma de fração. As razões são usadas para representar divisões entre medidas de grandezas. O resultado obtido em uma razão pode ser avaliado de diversas maneiras, por exemplo, quando dividimos o número de pessoas do sexo masculino da população de uma cidade pelo total de pessoas que vivem nessa cidade, encontraremos um decimal chamado taxa, que é resultado da divisão entre medidas de duas grandezas.

Por outro lado, quando dividimos a medida da distância percorrida por um automóvel pelo tempo gasto por esse automóvel, obtemos uma outra grandeza, conhecida como velocidade média.

Uma igualdade entre duas razões é conhecida como proporção. Perceba que, para uma proporção existir, é necessário que haja quatro medidas, duas relativas a uma grandeza e duas relativas a outra.

Exemplo: para um teste, um automóvel foi colocado em um percurso de 100 km e gastou 2 horas para percorrê-lo. Em um segundo momento, foi colocado em um percurso de 200 km e gastou 4 horas para percorrê-lo. A proporção relativa a esse experimento é:

100 = 200 = 50
 2       4         

Note que as duas razões entre distância percorrida e velocidade são iguais, pois ambas resultam em 50 (quilômetros por hora). Assim, as duas razões formam uma proporção e as grandezas distância e tempo são chamadas de proporcionais.

A regra de três é usada quando uma das quatro medidas presentes nas razões acima não é conhecida e precisamos descobri-la.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática