Cônicas são figuras geométricas planas definidas a partir da intersecção de um cone duplo de revolução com um plano. As figuras que podem ser obtidas nessa intersecção, e que podem ser chamadas de cônicas, são: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.
O cone duplo de revolução é conseguido com o giro de uma reta r sobre um eixo, que, por sua vez, é outra reta concorrente à reta r. A imagem a seguir mostra a reta que foi girada, o eixo e a figura obtida a partir dessa revolução.
Todas as definições das cônicas são baseadas na distância entre dois pontos, que pode ser encontrado no plano por meio do teorema de Pitágoras.
Dado um ponto C e um comprimento fixo r, todo ponto que está a uma distância r do ponto C é um ponto da circunferência. O ponto C é chamado de centro da circunferência e r é seu raio. A seguinte imagem mostra um exemplo de circunferência e a forma que ela assume no plano cartesiano:
Dadas as coordenadas do ponto C (a, b), as coordenadas do ponto P (x, y) e o comprimento do segmento r, a equação reduzida da circunferência é:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Dados dois pontos F1 e F2 do plano, chamados de focos, a elipse é o conjunto dos pontos P, tais que a soma da distância de P a F1 com a distância de P a F2 é a constante 2a. A distância entre os pontos F1 e F2 é 2c e 2a > 2c.
Comparando as definições de elipse e circunferência, na elipse, somamos as distâncias que vão de um ponto da elipse até seus focos e observamos o resultado constante. Na circunferência, apenas uma distância é constante.
A imagem a seguir mostra um exemplo de elipse e a forma dessa figura no plano cartesiano:
Nessa figura, pode-se observar os segmentos a, b e c, que serão usados para determinar as equações reduzidas da elipse.
Existem duas versões da equação reduzida da elipse; a primeira é válida para quando os focos estão sobre o eixo x de um plano cartesiano e o centro da elipse coincide com a origem:
x2 + y2 = 1
a2 b2
A segunda versão é válida para quando os focos estão sobre o eixo y e o centro da elipse coincide com a origem:
y2 + x2 = 1
a2 b2
Dada uma reta r, chamada de diretriz, e um ponto F, chamado de foco, ambos pertencentes ao mesmo plano, uma parábola é o conjunto de pontos P, tais que a distância entre P e F seja igual à distância entre P e r.
A figura a seguir mostra um exemplo de parábola:
O parâmetro de uma parábola é a distância entre o foco e a diretriz, e essa medida é representada pela letra p. Também existem duas versões para a equação reduzida da parábola. A primeira é válida quando o foco está sobre o eixo x:
y2 = 2px
A segunda é válida quando o foco está sobre o eixo y:
x2 = 2py
Dados dois pontos distintos F1 e F2, chamados de focos, de um plano qualquer, e a distância 2c entre esses pontos, um ponto P pertencerá à hipérbole se a diferença entre a distância de P até F1 e a distância de P a F2, em módulo, for igual a uma constante 2a. Assim:
|PF1 – PF2| = 2a
A imagem a seguir é uma hipérbole com os segmentos a, b e c.
A hipérbole também possui duas versões de equação reduzida. A primeira é referente aos casos em que os pontos F1 e F2 estão sobre o eixo x e o centro da hipérbole é a origem do plano cartesiano.
x2 - y2 = 1
a2 b2
O segundo caso é para quando os focos da hipérbole estão sobre o eixo y e seu centro coincide com a origem do plano cartesiano.
y2 - x2 = 1
a2 b2
Por Luiz Paulo Moreira
Graduada em Matemática
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que são cônicas?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conicas.htm. Acesso em 21 de outubro de 2020.
