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Os números acompanham as necessidades primitivas humanas de quantificar, contabilizar e medir. Por conta dessas necessidades, tornou-se essencial a criação da ideia de número e também de símbolos que os representassem por meio da escrita.
Ao longo da história, várias civilizações desenvolveram a noção de números e utilizaram, muitas vezes, o próprio corpo para representar isso e fazer contagens, até que foi possível retratar os números via símbolos diferentes, a fim de representá-los de forma escrita. Hoje utilizamos os algarismos indo-arábicos, que nos permitem indicar qualquer número utilizando dez símbolos diferentes {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Com o desenvolvimento da sociedade — e, consequentemente, da matemática —, foram surgindo, ao logo da história, os conjuntos numéricos. São eles:
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números naturais;
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números inteiros;
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números racionais;
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números irracionais;
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números reais.
Leia também: Sistema de numeração decimal — o sistema numérico que utilizamos
Tópicos deste artigo
- 1 - Resumo sobre números
- 2 - O que são números?
- 3 - História dos números
- 4 - Conjuntos numéricos
- 5 - Videoaula sobre conjuntos numéricos
- 6 - Outros números
- 7 - Exercícios resolvidos sobre números
Resumo sobre números
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A noção de número foi desenvolvida para atender à necessidade do homem de contar e de medir.
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Ao longo da história, povos diferentes desenvolveram números diferentes.
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Os números que utilizamos hoje são divididos em conjuntos numéricos, a saber: números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais.
O que são números?
Os números são objetos primitivos da matemática que servem para indicar ordem, medida ou quantidade. Não sabemos ao certo quando o homem desenvolveu a noção de quantidade e, como consequência, a noção de números.
O conceito de número, então, acompanha o desenvolvimento da humanidade, e hoje os números são representados pelos símbolos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} em nossa sociedade, mas existiram vários outros sistemas de numeração. Os números são elementos que dão base para a matemática e podem ser expressos por som, em nossa fala, ou pela escrita.
História dos números
A concepção de número emerge na humanidade a partir do momento em que surge a necessidade de realizar a contagem de alimentos e objetos. Portanto, durante a existência dos homens das cavernas, já era necessária a noção de números para contabilizar, por exemplo, a quantidade de peixes pescados.
Ao longo do tempo, com o desenvolvimento da agricultura, novamente os números se fizeram necessários, para que fosse possível a contagem da quantidade de frutas coletadas ou de animais em um rebanho.
Assim, com o passar dos anos, a sociedade foi se transformando, e o ser humano percebeu o quanto foi necessário o desenvolvimento da escrita. Com o desenvolvimento da escrita pelos sumérios, surgiram também os primeiros algarismos para representação de números. Existem registros de outros povos que desenvolveram sistemas de numeração, como os egípcios, os maias, os chineses e os hindus.
Atualmente, utilizamos o sistema de numeração indo-arábico, que possui base 10 e nos possibilita, com facilidade, a realização de operações entre dois números. À medida que a necessidade da matemática que o homem dominava no cotidiano aumentava, foram surgindo os conjuntos numéricos.
Leia também: O que são números primos?
Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos foram surgindo ao longo da história para atender novas demandas da população. O primeiro conjunto numérico conhecido por nós é o conjunto dos números naturais, sendo que existem outros, como o conjunto dos números inteiros, o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números irracionais e, por fim, o conjunto dos números reais.
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Conjunto dos números naturais (N)
Os números naturais foram os primeiros a ser utilizados pelos seres humanos. São os números inteiros e positivos, que usamos no nosso dia a dia para fazer contagem e ordenar.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}
O conjunto dos números naturais possui infinitos elementos. Cada número possui sempre um sucessor bem definido, pois para encontrar o sucessor de um número natural basta somar 1 a este número.
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Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais, pois todo número natural é um número inteiro também. Esse conjunto é criado a partir da necessidade do ser humano de representar números negativos. Hoje é bastante comum ver números negativos em medições de temperatura, por exemplo. Os números inteiros são:
Z = {…– 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O conjunto dos números inteiros também é infinito, porém para os dois lados, ou seja, há infinitos números negativos e positivos.
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Conjunto dos números racionais (Q)
O conjunto dos números racionais surge da necessidade de medições mais precisas. Nem sempre era possível representar determinada medida por meio de números inteiros. Foi aí que se percebeu a precisão da existência dos números decimais e também das frações.
Então, o conjunto dos números racionais também é uma ampliação dos números inteiros, ou seja, todo número inteiro é racional, mas o que muda é que há um acréscimo dos números que podem ser representados por frações.
É impraticável representar o conjunto desses números em uma lista, como nos casos anteriores, pois os números racionais podem ser expressos como fração, o que faz com que os números decimais também integrem esse conjunto. Logo, por mais que tenhamos uma relação de ordem bem definida, ou seja, que saibamos qual número é maior ou menor quando comparados, ainda assim não é possível definir quem é o sucessor de um determinado número no conjunto dos números racionais.
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Números irracionais (I)
Os números irracionais não são um ampliamento dos conjuntos anteriores, mas sim um novo conjunto numérico. Durante a resolução de determinados problemas, o resultado encontrado era uma raiz não exata e, a partir daí, houve a necessidade de um novo conjunto.
Os números irracionais são compostos pelas raízes não exatas e também as dízimas não periódicas. Ademais, um número nunca será racional e irracional ao mesmo tempo, já que para ser irracional o número não pode ser expresso por uma fração. O número √2, por exemplo, é irracional, pois sua raiz quadrada não é exata, gerando uma dízima não periódica.
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Números reais (R)
O conjunto dos números reais nada mais é que a união dos números irracionais e dos números racionais, formando um novo conjunto, que é o mais utilizado atualmente no estudo de funções, dentre outros temas.
Videoaula sobre conjuntos numéricos
Outros números
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Conjunto dos números complexos (C)
Além dos conjuntos apresentados, há também o conjunto dos números complexos (C). Essa é uma classificação feita para uma matemática mais aprofundada, estudada por especialistas. Ainda que menos comuns, os números complexos possuem grande importância. Conhecemos como números complexos as raízes de números negativos. Denotamos i = √– 1 para representar qualquer número complexo. Por exemplo, 1 + √– 4 é representado por 1 + 2i.
Leia também: Curiosidades sobre a divisão de números naturais
Exercícios resolvidos sobre números
Questão 01
Acerca dos números, sabemos que eles são divididos em conjuntos, conhecidos como conjuntos numéricos. A partir desse conhecimento, julgue as afirmativas a seguir:
I → Todo número irracional é um número real.
II → Todo número racional é um número inteiro.
III → Todo número irracional é um número racional.
Marque a alternativa correta:
A) Somente I é verdadeira.
B) Somente II é verdadeira.
C) Somente III é verdadeira.
D) Todas são falsas.
Resolução:
Alternativa A
I → Verdadeira, pois o conjunto dos números reais é formado pela união dos racionais com os irracionais.
II → Falsa, pois existem números que são racionais e que não são inteiros.
III → Falsa, pois um número não pode ser irracional e racional ao mesmo tempo.
Questão 02
Sobre a invenção dos números, julgue as afirmativas a seguir:
A) Os números são uma criação moderna, pois quando os homens eram nômades, não era necessária a utilização dos números, já que eles se ocupavam somente com a caça e pesca. Então, a noção de número só surgiu junto com a agricultura.
B) Os números foram inventados pelos homens a partir do advento do comércio, já que eles precisavam fazer trocas justas. Antes disso, não se tem registro da utilização dos números pelos homens.
C) Os números foram inventados pelo homem quando ele deixou de ser nômade e passou a criar rebanhos e se dedicar a plantações, auxiliando no controle dos ciclos de seus cultivos.
D) Ainda que o sistema de numeração que utilizamos não tenha sido o primeiro a ser inventado, a ideia de número acompanha o homem desde a época das cavernas, com a necessidade de contabilizar a quantidade de alimento, dentre outras aplicações.
Resolução:
Alternativa D
A alternativa que melhor descreve a história da invenção dos números é a alternativa D.
