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Função Composta

Uma função composta gof é uma regra que relaciona cada elemento do domínio de uma função f a um único elemento do contradomínio de uma função g.

Função composta: relaciona elementos do domínio de uma função a elementos do contradomínio de outra
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Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto, chamado domínio, a um único elemento de outro conjunto, chamado contradomínio. Suponha que existam duas funções, f e g, em que o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f. Nesse caso, é possível criar uma função gof, chamada de função composta, a qual relaciona diretamente os elementos do domínio da função f aos elementos do contradomínio da função g.

Definição de função composta

Dadas as funções f: A → B e g: B → C, a função composta de g com f é a função h(x) = g(f(x)), que também pode ser representada como gof(x) – que é lida como “g bola f de x”.

Para utilizar a função h, podemos aplicar a função f no ponto x, descobrir qual é o valor do contradomínio relacionado a ele e aplicar a função g sobre esse valor. Fazendo isso, obteremos um ponto do contradomínio de g cujos pontos de seu domínio também pertençam ao contradomínio da f.

Sendo assim, a função h, seu domínio e contradomínio ficam definidos como:

h: A → C

Isso porque, pelo fato de ser igual à composta de g com f, a função h relaciona cada elemento do domínio da função f com um único elemento do contradomínio da função g.

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Diagrama

O diagrama a seguir mostra o comportamento das funções f, g e h. Nesse diagrama, observe que a função f, representada pela primeira flecha, relaciona elementos do conjunto A a elementos do conjunto B:

A segunda flecha representa a função g, que relaciona elementos do conjunto B a elementos do conjunto C. Para relacionar elementos do conjunto A a elementos do conjunto B, existem dois caminhos: utilizar as duas funções uma a uma ou construir a função composta gof, que, como mostra o diagrama, relaciona diretamente elementos do conjunto A a elementos do conjunto C.

Funções compostas na prática

Na prática, construir a função composta é um processo simples. Para construir a composta gof, por exemplo, deveremos substituir a variável da função g por toda a função f.

Exemplo: dadas as funções f(x) = 2x3 e g(x) = 2x + 3x2, todas com domínio e contradomínio igual ao conjunto dos números reais, teremos:

gof(x) = 2(2x3) + 3(2x3)2

gof(x) = 4x3 + 3·4x6

gof(x) = 4x3 + 12x6
 

fog(x) = 2(2x + 3x2)3

 

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Função Composta"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-composta.htm. Acesso em 06 de julho de 2022.

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Exercício 1

Dada as funções de lei de formação f(x) = 2x + 5 e g(x) = -3x + 1, podemos afirmar que o valor de f (g(1)) é igual a:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Exercício 2

Conhecendo as funções f(x) log2x + 1 e a função g(x) = 2x, então, a função f(g(x)) é dada pela lei de formação:

A) g(f(x)) = x²
B) g(f(x)) = 2logx
C) g(f(x)) = x + 1
D) g(f(x)) = 2x
E) g(f(x)) = 2x + 1

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