Equação exponencial é um tipo de equação (sentença matemática que possui incógnitas e uma igualdade) em que a incógnita se encontra no expoente de um ou mais termos. O formato mais simples de uma equação exponencial é \(a^x=b\). Em muitos casos, é necessário empregar as propriedades de potenciação para resolver uma equação exponencial.
Leia também: Equação produto — a equação que representa a multiplicação de polinômios igualada a zero
Toda equação em que a incógnita aparece no expoente é chamada de equação exponencial.
Uma das formas de uma equação exponencial é
\(a^x=b\)
Muitas vezes, as propriedades de potenciação são empregadas para resolver uma equação exponencial.
As principais propriedades da potenciação são:
multiplicação de potências de mesma base: \(a^m⋅a^n=a^{m+n}\)
divisão de potências de mesma base: \(\frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}\)
potência de potência: \((a^m )^n=a^{m⋅n}\)
potência do produto: \( (a⋅b)^m=a^m⋅b^m\)
potência do quociente: \((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m} \)
Existem duas formas de resolver equações exponenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.
Na redução à base comum, para \(a>0\) e \(a ≠1\), tem-se que
\(a^x=a^y⇔x=y\)
Na definição do logaritmo, se \(a>0 \) e \(a ≠1\), temos que
\(a^x=b⇔log_ab=x\)
Equações são expressões algébricas (expressões matemáticas que contêm números e letras) que apresentam pelo menos um valor desconhecido, chamado de incógnita e representado geralmente por uma letra. Nesse sentido, equação exponencial é a equação em que a incógnita aparece no expoente de um ou mais termos da expressão. Veja os exemplos:
\(2^x=8\)
\(\frac{1^x}{6}=36\)
\((\sqrt7)^x=343\)
\(4^{x-2}=16^{x+1} \)
Resolver uma equação significa encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira, ou seja, que satisfaz a equação. No caso de uma equação exponencial, em que a incógnita está presente no expoente, é fundamental conhecer as propriedades de potenciação para encontrar a solução.
Antes de verificar as propriedades da potenciação, fundamentais à resolução de uma equação exponencial, precisamos entender duas notações importantes, as quais veremos a seguir.
Expoente negativo:
Uma potência com expoente negativo é igual a outra potência cuja base é o inverso multiplicativo da primeira e o expoente é o oposto do primeiro. Formalmente, considerando que x é positivo, temos que
\(a^{-x}=(\frac{1}{a})^x\)
Exemplos:
\(3^{-2}=(\frac{1}{3})^2\)
\((\frac{5}{9})^{-4}=(\frac{9}{5})^4\)
Expoente fracionário:
Uma potência de base a com expoente fracionário \(\frac{m}n\) é igual a uma raiz com índice n e radicando \(a^m\). Formalmente, temos que
\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
Exemplos:
\(5 ^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}\)
\(8 ^{\frac{1}{2}}=\sqrt8\)
Partindo disso, vejamos a seguir as principais propriedades da potenciação.
\(a^m⋅a^n=a^{m+n}\)
Exemplo:
\(2^3⋅2^4=8⋅16=128\)
\(2^{3+4}=2^7=128\)
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
Exemplo:
\(\frac{5^4}{5^2}=\frac{625}{25}=25\)
\(5^{4-2}=5^2=25\)
\((a^m )^n=a^{m⋅n}\)
Exemplo:
\((3^2 )^4=9^4=6561\)
\(3^{2⋅4}=3^8=6561\)
Importante: A expressão \((a^m )^n\) não é igual a \(a^{m^n}\). Na expressão \((a^m )^n\), o elemento n é expoente da base \(a^m\). Já na expressão \(a^{m^n}\), o elemento n é expoente da base m. Considere o exemplo abaixo com \(a=6\), \(m=3\) e \(n = 2\) e note que os resultados são diferentes.
\((2^3 )^2=8^2=64\)
\(2^{3^2}=2^9=512\)
\((a⋅b)^m=a^m⋅b^m\)
Exemplo:
\((4⋅8)^2=32^2=1024\)
\(4^2⋅8^2=16⋅64=1024\)
\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m} \)
Exemplo:
\((\frac{6}{5})^2=1,2^2=1,44\)
\(\frac{6^2}{5^2} =\frac{36}{25}=1,44\)
Para resolver uma equação exponencial de forma algébrica (ou seja, manipulando os termos da expressão), há duas estratégias essenciais: reduzir à base comum e utilizar a definição de logaritmo.
Nesse tipo de resolução vamos considerar equações exponenciais que podem ser escritas como uma igualdade entre potências de mesma base. Se \(a>0\) e \(a ≠1\), temos a seguinte relação:
\(a^x=a^y⇔x=y\)
Isso significa que se os dois lados da igualdade possuem a mesma base, então os expoentes são iguais. Esse resultado decorre do estudo das funções exponenciais \(f(x)=a^x\), que são injetoras.
Exemplo 1:
Qual a raiz da equação \(\frac{1}6^x=36\)?
Resolução:
\(\frac{1}6^x=36\)
\((6^{-1})^x=6^2\)
\(6^{-x}=6^2\)
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
\(-x = 2\)
\(x = -2\)
O conjunto solução é \(S=\{-2\}\).
Exemplo 2:
Qual a raiz da equação \(4^{x-2}=16^{x+1}\)?
Resolução:
\(4^{x-2}=16^{x+1}\)
\(4^{x-2}=(4^2 )^{x+1}\)
\(4^{x-2}=4^{2x+2}\)
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
\(x-2 = 2x+2\)
\(x = -4\)
O conjunto solução é \(S=\{-4\}\).
Considere a equação exponencial \(10^x=3\). Observe que nesse caso não é possível escrever os dois lados da igualdade como potências de mesma base. No entanto, a definição de logaritmo permite explicitar uma solução. Se \(a>0\) e \(a ≠1\), temos que
\(a^x=b⇔log_a\ b=x\)
Portanto, temos que
\(10^x=3⇔log_{10}\ 3=x\)
Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução \(x ≈0,477\).
Exemplo:
Qual a solução com duas casas decimais da equação \(3⋅2^x=27\)?
\(3⋅2^x=27\)
\(2^x=\frac{27}3\)
\(2^x=9\)
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
\(2^x=9⇔log_2\ 9=x\)
Consultando uma tabela de logaritmos ou utilizando a calculadora, obtemos a solução \(x ≈3,17\).
Veja também: O que é uma função exponencial?
Questão 1
(PUC) A soma das soluções reais da equação \(10^{x^2-9}=\frac{1}{1000}\) é
A) \(\sqrt{6}\)
B) \(-\sqrt{6}\)
C) 0
D) 1
E) 2
Resolução
Alternativa C.
Observe que podemos escrever a equação exponencial como uma igualdade de potências de mesma base:
\(10^{x^2-9}=\frac{1}{1000}\)
\(10^{x^2-9}=10^{-3}\)
Como a base é positiva e diferente de 1, temos que
\(x^2-9=-3\)
\(x^2=6\)
Assim, as soluções reais são \( x_1=-\sqrt3\) e \(x_2=\sqrt3\). Logo, \(x_1+x_2=0\).
Questão 2
(PUC) Quanto vale a soma de todas as soluções reais da equação abaixo?
\((5^x )^2-26⋅5^x+25=0\)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resolução:
Alternativa C.
Considere \(5^x=y\). Assim, podemos reescrever a equação como
\(y^2-26⋅5^x+25=0\)
Note que \(y_1=1\) e \(y_2=25\) são soluções para essa equação do segundo grau. Substituindo \(y_1\) e \(y_2\) na expressão \(5^x=y\), temos que
\(5^{x_1}=1⇒x_1=0\)
\(5^{x_2}=25⇒x_1=2\)
Logo, \(x_1+x_2=2\).
Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática
Fonte: Brasil Escola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-exponencial.htm