Matriz

A matriz é comumente utilizada para a organização de dados tabulares a fim de facilitar a resolução de problemas. As informações das matrizes, sejam estas numéricas ou não, são dispostas organizadamente em linhas e colunas.

O conjunto das matrizes munido das operações de adição, subtração e multiplicação e de características, como elemento neutro e inverso, forma uma estrutura matemática que possibilita sua aplicação em diversos campos dessa grande área do conhecimento.

Veja também: Relação entre matriz e sistemas lineares

Tópicos deste artigo

• 1 - Representação de matrizes
• 2 - Tipos de matrizes
  • Matriz quadrada
  • Matriz identidade
  • Matriz unitária
  • Matriz nula
• 3 - Matriz oposta
  • Matriz transposta
• 4 - Operações com matrizes
  • Exemplo
  • Adição e subtração de matrizes
  • Exemplo
  • Multiplicação de um número real por matriz
  • Multiplicação de matrizes
• 5 - Exercícios resolvidos

Representação de matrizes

Antes de começarmos os estudos sobre matrizes, é necessário estabelecer algumas notações quanto às suas representações. As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas (A, B, C…), que são acompanhadas por índices, nos quais o primeiro número indica a quantidade de linhas, e o segundo, o número de colunas.

A quantidade de linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais) de uma matriz determina sua ordem. A matriz A possui ordem m por n. As informações contidas em uma matriz são chamadas de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais, veja os exemplos:

A matriz A possui duas linhas e três colunas, logo, sua ordem é dois por três → A_2x3.

A matriz B possui uma linha e quatro colunas, logo, sua ordem é um por quatro, por isso recebe o nome de matriz linha → B_1x4.

A matriz C possui três linhas e uma coluna, e por isso é chamada de matriz coluna e sua ordem é três por um → C_3x1.

Podemos representar genericamente os elementos de uma matriz, isto é, podemos escrever esse elemento utilizando uma representação matemática. O elemento genérico será representado por letras minúsculas (a, b, c…), e, assim como na representação de matrizes, ele também possui índice que indica sua localização. O primeiro número indica a linha em que o elemento está, e o segundo número indica a coluna na qual ele se localiza.

Considere a seguinte matriz A, faremos a listagem de seus elementos.

Observando o primeiro elemento que está localizado na primeira linha e primeira coluna, ou seja, na linha um e coluna um, temos o número 4. A fim de facilitar a escrita, vamos denotá-lo por:

a₁₁ → elemento da linha um, coluna um

Assim temos os seguintes elementos da matriz A_2x3:

a₁₁ = 4

a₁₂ =16

a₁₃ = 25

a₂₁ = 81

a₂₂ = 100

a₂₃ = 9

De modo geral, podemos escrever uma matriz em função de seus elementos genéricos, essa é a matriz genérica.

Uma matriz de m linha e n colunas é representada por:

• Exemplo

Determine a matriz A = [a_ij ]_2x2, que possui a seguinte lei de formação a_ij = j² – 2i. Dos dados do enunciado, temos que a matriz A é de ordem dois por dois, ou seja, possui duas linhas e duas colunas, logo:

Além disso, foi dada a lei de formação da matriz, ou seja, a cada elemento satisfaz-se a relação a_ij = j² – 2i. Substituindo os valores de i e j na fórmula, temos:

a₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

a₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

a₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

a₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Portanto, a matriz A é:

Tipos de matrizes

Algumas matrizes merecem uma atenção especial, veja agora esses tipos de matrizes com exemplos.

• Matriz quadrada

Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Representamos a matriz que possui n linhas e n colunas por A_n (lê-se: matriz quadrada de ordem n).

Nas matrizes quadradas, temos dois elementos muito importantes, as diagonais: principal e secundaria. A diagonal principal é formada por elementos que possuem índices iguais, ou seja, é todo elemento a_ij com i = j. A diagonal secundária é formada por elementos a_ij com i + j = n +1, em que n é ordem da matriz.

• Matriz identidade

A matriz identidade é uma matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0, sua lei de formação é:

Denotamos essa matriz por I, em que n é a ordem da matriz quadrada, veja alguns exemplos:

• Matriz unitária

É uma matriz quadrada de ordem um, ou seja, possui uma linha e uma coluna e, portanto, apenas um elemento.

A = [-1]_1X1, B = I₁ = (1)_1X1 e C = || 5||_1X1

Essas são exemplos de matrizes unitárias, com destaque para matriz B, que é uma matriz de identidade unitária.

• Matriz nula

Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero. Representamos uma matriz nula de ordem m por n por O_mxn.

A matriz O é nula de ordem 4.

• Matriz oposta

Considere duas matrizes de ordens iguais: A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_mxn. Essas matrizes serão chamadas de opostas se, e somente se, a_ij = -b_ij. Desse modo, os elementos correspondentes devem ser números opostos.

Podemos representar a matriz B = -A.

• Matriz transposta

Duas matrizes A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_nxm são transpostas se, e somente se, a_ij = b_ji , ou seja, dado uma matriz A, para encontrar sua transposta, basta tomar as linhas como colunas.

A transposta da matriz A é denotada por A^T. Veja o exemplo:

Veja mais: Matriz inversa: o que é e como verificar

Operações com matrizes

O conjunto das matrizes possui as operações de adição e multiplicação muito bem definidas, isto é, sempre que operamos duas ou mais matrizes, o resultado da operação ainda pertence ao conjunto das matrizes. No entanto, e a operação de subtração? Essa operação entendemos como sendo a inversa da adição (matriz oposta), que também está muito bem definida.

Antes de definirmos as operações, vamos entender as ideias de elemento correspondente e igualdade de matrizes. Elementos correspondentes são aqueles que ocupam a mesma posição em diferentes matrizes, ou seja, que estão localizados na mesma linha e coluna. Obviamente as matrizes precisam ser de mesma ordem para que existam elementos correspondentes. Veja:

Os elementos 14 e -14 são elementos correspondes das matrizes opostas A e B, pois ocupam a mesma posição (mesma linha e coluna).

Duas matrizes vão ser ditas iguais se, e somente se, os elementos correspondentes são iguais. Assim, dadas as matrizes A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_mxn, essas vão ser iguais se, e somente se, a_ij = b_ij para quaisquer i j.

• Exemplo

Sabendo que as matrizes A e B são iguais, determine os valores de x e t.

Como as matrizes A e B são iguais, então os elementos correspondentes devem ser iguais, portanto:

x = -1 e t = 1

• Adição e subtração de matrizes

As operações de adição e subtração entre matrizes são bastante intuitivas, mas antes é necessário que uma condição seja satisfeita. Para realizar essas operações, antes é necessário verificar se as ordens das matrizes são iguais.

Verificado essa condição, a adição e subtração de matriz dá-se somando ou subtraindo os elementos correspondentes das matrizes. Considere as matrizes A = [a_ij]_mxn e B = [b_ij]_mxn, então:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A – B = [a_ij – b_ij] _mxn

• Exemplo

Considere as matrizes A e B a seguir, determine A + B e A – B.
 

Leia também: Operações com números inteiros

• Multiplicação de um número real por matriz

A multiplicação de um número real de uma matriz (também conhecida como multiplicação de matriz) por uma escalar é dada multiplicando cada elemento da matriz pela escalar.

Seja A = [a_ij]_mxn uma matriz e t um número real, então:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Veja o exemplo:

• Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes não é tão trivial quanto a adição e subtração delas. Antes de realizar a multiplicação, uma condição deve também ser satisfeita em relação à ordem das matrizes. Considere as matrizes A_mxn e B_nxr.

Para realizar a multiplicação, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.

Para efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B, devemos multiplicar cada uma das linhas por todas as colunas da seguinte maneira: o primeiro elemento de A é multiplicado pelo primeiro elemento de B e, em seguida, somado ao segundo elemento de A e multiplicado pelo segundo elemento de B, e assim sucessivamente. Veja o exemplo:

Leia também: Teorema de Laplace: saiba como e quando usar

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (U. E. Londrina – PR) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q, e se a matriz A · B possui ordem 3 x 5, então é verdade que:

a) p = 5 e q = 5

b) p = 4 e q = 5

c) p = 3 e q = 5

d) p = 3 e q = 4

e) p = 3 e q = 3

Solução

Temos do enunciado que:

A_3X4 · B_pxq = C_3x5

Da condição para multiplicar duas matrizes temos que o produto só existe se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, logo, p = 4. E sabemos também que a matriz produto é dada pela quantidade de linhas da primeira com a quantidade de colunas da segunda, logo, q = 5.

Portanto, p = 4 e q = 5.

R: Alternativa b

Questão 2 – (Vunesp) Determine os valores de x, y e z, na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2 x 2.

Solução

 

Vamos realizar as operações entre as matrizes e, em seguida, a igualdade entre elas.

 

Para determinar o valor de x, y e z, resolveremos o sistema linear. Inicialmente vamos somar as equações (1) e (2).

2x – 4= 0

2x = 4

x = 2

Substituindo o valor de x encontrado na equação (3), temos:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

E por fim, substituindo os valores de x e z encontrados na equação (1) ou (2), temos:

x + y – z = 0

2 +y – 2 = 0

y =0

Portanto, a solução do problema é dada por S = {(2, 0, 2)}.